Преобразование Мелера — Фока

Преобразование Мелера — Фока функции $f(x)$ имеет вид:

$F(\tau )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)dx,\tau ⩾0,$

где $P_{\nu }(x)$ — сферическая функция Лежандра первого рода. Если $f(x)$ — вещественная функция, причём

$f(x)f(x)P_{-\frac{1}{2}}(x)\in L(1,+\mathrm{\infty }),$

тогда интеграл $F(\tau )$, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых $\tau ⩾0$.

Обратное преобразование имеет вид:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tau \mathrm{t}\mathrm{h}(\pi \tau )F(\tau )P_{-\frac{1}{2}+i\tau }d\tau .$

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Другие определения

Иногда определение $F(\tau )$ распространяют и на $\tau <0$, полагая

$F(-\tau )=F(\tau ).$

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tau \mathrm{t}\mathrm{h}(\pi \tau )P_{-\frac{1}{2}+i\tau }f(\xi )P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .$

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

$\tilde{F}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,x⩾1.$

Тогда, если $f(\tau )\in L[0,\mathrm{\infty })$, $|f^{\prime }(\tau )|$ — локально интегрируема на $[0,\mathrm{\infty })$ и $f(0)=0$, верна формула обращения:

$f(\tau )=\tau \mathrm{t}\mathrm{h}(\pi \tau )\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)\tilde{F}(x)dx.$

Вычисление

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

$P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha )=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\frac{\cos \tau s}{\sqrt{2(\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha -\mathrm{c}\mathrm{h}s)}}ds,\alpha ⩾0,$

(данное представление также называют интегралом Мелера)

$P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha )=\frac{2}{\pi }\mathrm{c}\mathrm{h}\pi \tau \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos \tau s}{\sqrt{2(\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha -\mathrm{c}\mathrm{h}s)}}ds,\alpha ⩾0.$

Равенство Парсеваля

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть $g_k(x),i=1,2$ — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

$g_k(x)x^{-\frac{1}{2}}\ln (1+x)\in L(1,\mathrm{\infty }),g_k(x)\in L_2(1,\mathrm{\infty }),$

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

$G_k(\tau )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\tau \mathrm{t}\mathrm{h}\pi \tau }{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)g_k(x)dx,i=1,2,$

$g_k(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{\tau \mathrm{t}\mathrm{h}\pi \tau }{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)G_k(\tau )dx,i=1,2,$

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{G}_1(\tau )G_2(\tau )d\tau =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_1(x)g_2(x)dx.$

Пример использования

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

$f(x)=g(x)+\lambda \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(s)}{x+s}ds,x⩾1,\pi \lambda <1.$

Пусть преобразования Мелера — Фока

$F(\tau )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)dx,$

$G(\tau )=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)P_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)dx,$

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

$F(\tau )=G(\tau )+\frac{\lambda \pi }{\mathrm{c}\mathrm{h}(\pi \tau )}F(\tau ),$

откуда:

$F(\tau )=\frac{G(\tau )}{1-\frac{\lambda \pi }{\mathrm{c}\mathrm{h}(\pi \tau )}}.$

Если $g(x)$ — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале $x\in (1,b),$ причём

$g(x)P_{\frac{1}{2}}(x)\in L(1,+\mathrm{\infty }),$

$G(\tau )\tau \in L(0,+\mathrm{\infty }),$

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\tau \mathrm{t}\mathrm{h}(\pi \tau )\frac{G(\tau )}{1-\frac{\lambda \pi }{\mathrm{c}\mathrm{h}(\pi \tau )}}{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }(x)d\tau .$

Обобщённое преобразование Мелера — Фока

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

${\tilde{F}}_k(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,$

где $P_{\nu }^{(k)}(x)$ — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

$f(\tau )=\frac{\tau \mathrm{t}\mathrm{h}(\pi \tau )}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-k+ix)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-k-ix)\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{-\frac{1}{2}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde{F}}_k(x)dx.$

Частные случаи

1. При $k=0$ получится случай обычного преобразования Мелера — Фока $\tilde{F}(x)$.
2. При $k=\frac{1}{2},x=\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha$ получится косинус-преобразование Фурье.
3. При $k=-\frac{1}{2},x=\mathrm{c}\mathrm{h}\alpha$ получится синус-преобразование Фурье.

Литература

• Математическая энциклопедия / Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав. ред.) [и др.] — М.: Советская Энциклопедия, 1977—1985.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.