Преобразование Хартли

Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Шаблон:Нп3 в 1983 году.

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Хартли $H(\omega )$ рассчитывается по формуле

$H(\omega )=\left\{\mathscr{H}f\right\}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\text{cas}(\omega t)\mathrm{d}t,$

где

$\text{cas}(t)=\cos (t)+\sin (t)=\sqrt{2}\sin (t+\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\cos (t-\frac{\pi }{4})$ — ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

$f=\{\mathscr{H}\{\mathscr{H}f\}\}$

Уточнения

• Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент $\frac{1}{2\pi }$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
• Можно использовать коэффициент $2\pi \nu t$ вместо $\omega t$, полностью опустив коэффициент $\frac{1}{2\pi }$;
• Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

$\exp \left(-i\omega t\right)=\cos (\omega t)-i\sin (\omega t),$

где

$i$ — мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

$F(\omega )=\frac{H(\omega )+H(-\omega )}{2}-i\frac{H(\omega )-H(-\omega )}{2}$

Для вещественных функций $f(t)$ преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

$\{\mathscr{H}f\}=\mathrm{\Re }\{ℱf\}-\mathrm{\Im }\{ℱf\}=\mathrm{\Re }\{ℱf\cdot (1+i)\},$

где

$\mathrm{\Re }$ и $\mathrm{\Im }$ — действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции $x(t)$ и $y(t)$ имеют преобразования Хартли $X(t)$ и $Y(t)$ соответственно, то их свёртка $z(t)=x*y$ будет иметь преобразование

$Z(\omega )=\{\mathscr{H}(x*y)\}=\sqrt{2\pi }(X(\omega )[Y(\omega )+Y(-\omega )]+X(-\omega )[Y(\omega )-Y(-\omega )])/2$

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

$\text{cas}(t)=\sqrt{2}\sin (t+\pi /4),$

то

$2\text{cas}(a+b)=\text{cas}(a)\text{cas}(b)+\text{cas}(-a)\text{cas}(b)+\text{cas}(a)\text{cas}(-b)-\text{cas}(-a)\text{cas}(-b)$ и

$\text{cas}(a+b)=\cos (a)\text{cas}(b)+\sin (a)\text{cas}(-b)=\cos (b)\text{cas}(a)+\sin (b)\text{cas}(-a)$

Производная ядра равна

${\text{cas}}^{\prime }(a)=\frac{\text{d}}{\text{d}a}\text{cas}(a)=\cos (a)-\sin (a)=\text{cas}(-a)$

Литература

• РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье [1] Шаблон:Wayback
• Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Шаблон:Wayback, Proc. IRE 30, 144—150 (1942).
• Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
• Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
• Bracewell, R. N., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994).
• Millane, R. P., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
• Villasenor, John D., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).