Преобразование Ханкеля

В математике преобразование Ханкеля порядка $ν$ функции $f (r)$ задаётся формулой

F_{ν} (k) = \int_{0}^{\infty} f (r) J_{ν} (k r) r d r,

где $J_{ν}$ — функция Бесселя первого рода порядка $ν,$ и $ν ⩾ - 1 / 2$ . Обратным преобразованием Ханкеля функции $F_{ν} (k)$ называют выражение

f (r) = \int_{0}^{\infty} F_{ν} (k) J_{ν} (k r) k d k,

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.

Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции $f (r)$ верно для любых точек на интервале $(0, \infty)$ , в которых функция $f (r)$ непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

\int_{0}^{\infty} | f (r) | r^{1 / 2} d r

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, $f (r) = r$ ).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом $r$ :

\int_{0}^{\infty} J_{ν} (k r) J_{ν} (k^{'} r) r d r = \frac{δ (k - k^{'})}{k}

для $k, k^{'} > 0$ .