Преобразование Гегенбауэра

Преобразование Гегенбауэра — интегральное преобразование $T\{F(t)\}$ функции $F(t)$:

$T\{F(t)\}=\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}(1-t^2{)}^{\rho -1/2}{C}_n^{\rho }(t)F(t)dt=f_n^{\rho },$ $\rho >-1/2,n=0,1,2,\dots ,$

где $C_n^{\rho }(t)$ — многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения

$F(t)=\sum _{n=0}^1\frac{n!(n+\rho ){\mathrm{\Gamma }}^2(\rho )2^{2\rho -1}}{\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\rho )}{C}_n^{\rho }(t)f_n^{\rho }(t),-1<t<1$

Преобразование Гегенбауэра сводит дифференциальную операцию

$R[F(t)]=(1-t^2)F^{\prime \prime }-(2\rho +1)t{F}^{\prime }$

к алгебраической

$T\left\{R[F(t)]\right\}=-n(n+2\rho )f_n^{\rho }$

Названо в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Литература

• Диткин В. А., Прудников А. П., в сб.: Итог науки. Сер. Математика. Математический анализ. 1966, М., 1967, с. 7—82.