Ядро Пуассона

Ядро Пуассо́на — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае

На комплексной плоскости ядро Пуассона $P_{r} (θ)$ задаётся формулой

P_{r} (θ) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} r^{| n |} e^{i n θ} = \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos θ + r^{2}} = Re (\frac{1 + r e^{i θ}}{1 - r e^{i θ}}), 0 \leq r < 1 .

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию $r (Θ)$ или как семейство функций $Θ_{r}$ при $0 \leq r < 1 .$

Если область $D$ такова, что $D = {z : | z | < 1}$ — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция $f$ задана в области $D$ , то функция

u (r e^{i θ}) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} P_{r} (θ - t) f (e^{i t}) d t, 0 \leq r < 1

является гармонической функцией в области $D .$

Так как граничные условия функции $u$ совпадают с граничными условиями функции $f$ , то при $r \to 1 P_{r} (θ)$ задаёт свёртку в пространстве $L^{p} (T) .$

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве $L^{1} .$ Пусть функция $f \in L^{1} (T)$ имеет ряд Фурье ${f_{k}} .$ После преобразований Фурье свёртка $P_{r} (θ)$ умножается на ряд ${r^{k}} \in L^{1} (Z) .$

Литература

Шаблон:Нет иллюстраций Шаблон:Перевести

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона в двумерном случае

Литература

Навигация

Поиск