Интеграл Пуассона

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: $u(r,\phi )\in C^2(D)\cap C(\bar{D}),u_0(\phi )\in C^1(\partial D)$, где ∂D — граница шара D, а $\bar{D}$ — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{{\omega }_{n}R}\underset{\partial D}{\int }\frac{u_0(\psi )}{|r-\psi {|}^n}dS(\psi ),r\in [0;R),$

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

$u(r,\phi )=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(a_n\cos n\phi +{\tilde{a}}_n\sin n\phi )$

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

$u(r,\phi )=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )d\psi +\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(\cos n\phi \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\phi \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )\sin (n\psi )d\psi )=$$=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n(\cos n\phi \cos n\psi +\sin n\phi \sin n\psi ))d\psi +\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )d\psi =$$=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{u}_0(\psi )(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos n(\phi -\psi ))d\psi .$

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

$\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\cos n(\phi -\psi )=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}\right)}^n=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}}{1-\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}}=$$=\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\frac{\frac{r}{R}{e}^{i(\phi -\psi )}(1-\frac{r}{R}{e}^{-i(\phi -\psi )})}{1-2\frac{r}{R}\cos (\phi -\psi )+{\left(\frac{r}{R}\right)}^2}=\frac{R^2-r^2}{2(R^2+r^2-2Rr\cos (\phi -\psi ))}.$

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{u_0(\psi )d\psi }{R^2+r^2-2Rr\cos (\phi -\psi )},r\in [0,R).$

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области $U$ функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области $U$ плоскости $z=x+iy$ на область $V$ плоскости $w=\xi +i\eta$ уравнение Лапласа для функции $u(x,y)$ переходит в уравнение $\mathrm{△}u(\xi ,\eta )=0$. С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса $R$ на единичный круг, при котором произвольная точка $z_0=r_0{e}^{i{\phi }_0}$ переходит в центр. Такая функция имеет вид:

$w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda \frac{z-z_0}{z-\frac{R^2}{{\overline{z}}_0}}=\lambda \frac{z-r_0{e}^{i{\phi }_0}}{z-\frac{R^2}{r_0}{e}^{i{\phi }_0}},$

где $\lambda$ выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки $|w|=1$, при этом $|\lambda |=\frac{R}{r_0}$, а $arg(\lambda )$ произволен. Искомая функция $u(r,\phi )$ перейдёт в функцию $U(\rho ,\psi )$. Граничная функция $u_0(\phi )$ перейдёт в $U_0(\psi )=u_0(\phi (1,\psi ))$. Тогда по теореме о среднем:

$u(r_0,{\phi }_0)=U{|}_{w=0}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{U}_0(\psi )d\psi .$

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить $U_0(\psi )$ через $u_0(\phi )$. Для граничных точек круга $|z|⩽R$ и круга $|w|⩽1$ формула дробно-линейного преобразования даёт

$e^{i\psi }=\frac{R}{r_0}\frac{R{e}^{i\phi }-r_0{e}^{i{\phi }_0}}{R{e}^{i\phi }-\frac{R^2}{r_0}{e}^{i{\phi }_0}},$

откуда

$d\psi =\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2R{r}_0\cos (\phi -{\phi }_0)}d\phi .$

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

$u(r_0,{\phi }_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2R{r}_0\cos (\phi -{\phi }_0)}{u}_0(\phi )d\phi ,r_0\in [0,R).$

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{u_0(\psi )d\psi }{R^2+r^2-2Rr\cos (\phi -\psi )},r\in [0,R).$

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности: Шаблон:Рамка

$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\mathrm{\Delta }u=0,x\in {ℝ}^n,t>0,\\ u(x,0)=\phi (x),x\in {ℝ}^n,\end{array}$

Шаблон:Конец рамки где $\phi (x)$ — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция $u=u(x,t)$ является непрерывной и ограниченной при $t\ge 0$ и всех значениях аргумента $x$.

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием $\phi (x)=\delta (x)$, где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}\exp (-\frac{|x{|}^2}{4a^{2}t}),x\in {ℝ}^n,t>0.$

где $|x{|}^2=x_1^2+\cdots +x_n^2$ — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in {ℝ}^n$.

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле:

$u(x,t)=\underset{{𝐑}^n}{\int }\mathrm{\Phi }(x-y,t)\phi (y)dy=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}\underset{{𝐑}^n}{\int }\exp (-\frac{|x-y{|}^2}{4a^{2}t})\phi (y)dy.$

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности: Шаблон:Рамка

$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\mathrm{\Delta }u=f(x,t),x\in {ℝ}^n,t>0,\\ u(x,0)=\phi (x),x\in {ℝ}^n.\end{array}$

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид:

$u(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}\underset{{𝐑}^n}{\int }\exp (-\frac{|x-y{|}^2}{4a^{2}t})\phi (y)dy+$

$+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{{𝐑}^n}{\int }\frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-s)}{)}^n}\exp (-\frac{|x-y{|}^2}{4a^2(t-s)})f(y,s)dyds.$

Обобщения

По теореме Римана об области, связная односвязная область в $ℂ$ конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно $\mathrm{S}\mathrm{O}(2,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$. Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского ${\mathrm{\Lambda }}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1)$, а также комплексное ${\mathrm{\Lambda }}_{ℂ}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{U}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{U}(n+1)$ и кватернионное ${\mathrm{\Lambda }}_{ℍ}^{n+1}=\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{p}(n+1)$ пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство ${\mathrm{\Lambda }}^{n+1}\times S^n$, где $S^n=\partial {\mathrm{\Lambda }}^{n+1}$ — абсолют, является однородным пространством для группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1,1)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n+1)$. На нём имеются инвариантные внешние формы ${\pi }_k\in {\mathrm{\Omega }}^{k,n-k}({\mathrm{\Lambda }}^{n+1}\times S^n)$ (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них $k$ векторных полей, касающихся сомножителя ${\mathrm{\Lambda }}^{n+1}$ и $n-k$ векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(S^n)$, то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения $p_{S^n}^{*}\alpha \wedge {\pi }_k$, где $p_{S^n}:{\mathrm{\Lambda }}^{n+1}\times S^n\to S^n$ — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют $S^{2n+1}$ комплексного пространства Лобачевского ${\mathrm{\Lambda }}_{ℂ}^{n+1}$ (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу $S^{2n+1}$ как единичную сферу в пространстве ${ℂ}^{n+1}$ можно определить в каждой точке $x\in S^{2n+1}$ как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве $T_x{S}^{2n+1}$ к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности.

Литература

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга