Распределение (дифференциальная геометрия)

Шаблон:Значения Распределе́ние (Шаблон:Lang-en) на многообразии $M$ — подрасслоение касательного расслоения многообразияШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, в каждой точке $x\in M$ выбрано линейное подпространство ${\mathrm{\Delta }}_x$ касательного пространства $T_{x}M$, которое гладко зависит от точки $x$Шаблон:Sfn.

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Определение

Пусть $M$ — гладкое $n$-мерное многообразие и $k⩽n$. Предположим, что в каждой точке $x\in M$ выбрано $k$-мерное подпространство ${\mathrm{\Delta }}_x\subset T_x(M)$ касательного пространства такое, что у любой точки $x\in M$ существует окрестность $U_x\subset M$ и $k$ линейно независимых гладких векторных полей $X_1,\dots ,X_k$, причем для любой точки $y\in U_x$, векторы $X_1(y),\dots ,X_k(y)$ составляют базис подпространства ${\mathrm{\Delta }}_y\subset T_y(M)$.

В этом случае совокупность $\mathrm{\Delta }$ всех подпространств ${\mathrm{\Delta }}_x$ $x\in M$, называется $k$-мерным распределением на многообразии $M$.

При этом векторные поля $\{X_1,\dots ,X_k\}$ называется локальным базисом распределения $\mathrm{\Delta }.$

Инволютивные распределения

Распределение $\mathrm{\Delta }$ на $M$ называется инволютивным, если в окрестности каждой точки $x\in M$ существует локальный базис распределения $\{X_1,\dots ,X_k\}$ такой, что все скобки Ли векторных полей $[X_i,X_j]$ принадлежат линейной оболочке $\{X_1,\dots ,X_k\}$, то есть $[X_i,X_j]$ являются линейными комбинациями векторов $\{X_1,\dots ,X_k\}.$ Условие инволютивности распределения $\mathrm{\Delta }$ записывается как $[\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }]\subset \mathrm{\Delta }$.

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

На открытом множестве $U\subset M$ $k$-мерное распределение $\mathrm{\Delta }$ может быть задано системой гладких 1-форм ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_{n-k}$, определенных в $U$ и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями ${\omega }_i(\xi )=0$. Если $\{{\omega }_1\dots ,{\omega }_{n-k}\}$ и $\{{{\omega }_1}^{\prime },\dots ,{\omega }_{n^{\prime }-k}\}$ — системы 1-форм, определяющие распределение $\mathrm{\Delta }$ в $U$ и в $U^{\prime }$, то в пересечении $U\cap U^{\prime }$ форма ${\omega }_i=\sum {\varphi }_{ij}{\omega }_j$, где ${\varphi }_{ij}$ — такие гладкие функции, что $\det ({\varphi }_{ij})\ne 0$ в $U\cap U^{\prime }$. Если $U=M$, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

$k$-мерное распределение называется интегрируемым, или фробениусовым, если через каждую точку $x\in M$ проходит $k$-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В $k$-мерном случае, $k>1$, существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: $k$-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: $k$-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_{n-k}$, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

$d{\omega }_i=\sum _j{\eta }_j^i\wedge {\omega }_j$,

где ${\eta }_j^i$ — гладкие 1-формы. Если определяющие формы ${\omega }_i$ независимы, это условие эквивалентно системе

${\omega }_1\wedge \dots \wedge {\omega }_{n-k}\wedge d{\omega }_i=0$.

Интегрируемое распределение $\mathrm{\Delta }$ определяет слоение на многообразии $M$: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что $1$-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает $1$-мерное слоение.

Теорема Тёрстона

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому ,.

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером.

См. также

• Слоение
• Пфаффово уравнение
• Субриманово многообразие

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Шаблон:Книга