Субриманово многообразие

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение

• Пусть $M$ — гладкое многообразие размерности $m$, на котором задано гладкое распределение $\mathrm{\Delta }$ размерности $n<m$, т.е. в каждой точке $x\in M$ задано линейное подпространство ${\mathrm{\Delta }}_x$ касательного пространства $T_{x}M$ которое гладко зависит от точки $x$. Подпространства ${\mathrm{\Delta }}_x$ называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на $M$ называются горизонтальными, если они касаются распределения $\mathrm{\Delta }$ в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).
• Распределение $\mathrm{\Delta }$ называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке $x\in M$ любой вектор касательного пространства $T_{x}M$ представим в виде линейной комбинации векторов вида

$A,[A,B],[A,[B,C]],[A,[B,[C,D]]],\dots$

с некоторыми $A,B,C,D,\dots \in {\mathrm{\Delta }}_x$. Здесь $[A,B]$ означает скобку Ли векторных полей.

• Многообразие $M$ с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением $\mathrm{\Delta }$ называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство ${\mathrm{\Delta }}_x\subset T_{x}M$ снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка $(M,\mathrm{\Delta },g)$.

Связанные понятия

Теорема Рашевского — Чоу

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938) и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939).

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости.

Метрика Карно — Каратеодори

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

$d(x,y)=\inf \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{g(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))}dt,$

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть $\gamma :[0,1]\to M$, $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$. Определённая таким образом метрика $d(x,y)$ называется метрикой Карно-Каратеодори.

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation
• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.
• Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry
• R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.