Внутренняя метрика

Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения

Метрика $\rho$ на пространстве $X$ называется внутренней, если для любых двух точек $x,y\in X$ расстояние между ними определяется формулой $\rho (x,y)=\inf \{L(\gamma )\},$ где $L(\gamma )$ обозначает длину пути $\gamma$ и точная нижняя грань берётся по всем путям $\gamma$, соединяющим точки $x,y\in X$.

Связанные определения

• Пусть $x,y\in X$ — две произвольные точки метрического пространства $\rho ,X$ и $\epsilon$ — произвольное положительное число. Точка $z_{\epsilon }\in X$ называется их $\epsilon$-серединой, если $\rho (x,z_{\epsilon }),\rho (y,z_{\epsilon })<\frac{1}{2}\rho (x,y)+\epsilon .$

• Метрическое пространство $(X,\rho )$ называется геодезическим, если любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей.

Свойства

• Если $(X,\rho )$ — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек $x,y\in X$ и любого $\epsilon >0$ существует их $\epsilon$-середина.
  • Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство $(X,\rho )$ полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек $x,y\in X$ и любого $\epsilon >0$ существует их $\epsilon$-середина, то эта метрика внутренняя.
• Полное метрическое пространство $(X,\rho )$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек $x,y\in X$ и $\epsilon >0$ найдётся кривая длины $<\rho (x,y)+\epsilon ,$ соединяющая точки $x$ и $y$.
• В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
• Теорема Хопфа — Ринова: Если $(X,\rho )$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей. Более того, пространство $X$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества $X$ являются компактными).
• Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Примеры

• Риманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерова геометрия

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4