Пфаффово уравнение

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида $\omega =0$, где $\omega$ — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия $M^n$ размерности $n$. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии $M^n$ введены (локальные) координаты $x=(x_1,\dots ,x_n)$, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

$a_1(x)d{x}_1+a_2(x)d{x}_2+\cdots +a_n(x)d{x}_n=0,$

где $a_i(x)$ — скалярные функции, заданные на $M^n$. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,x,y\in ℝ$.

Пфаффова система

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида ${\omega }_1=0,{\omega }_2=0,\dots ,{\omega }_m=0$, где ${\omega }_i$ — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия $M^n$ размерности $n$. В координатах пфаффова система имеет вид

$\{\begin{array}{cc}{a}_{11}(x)d{x}_1+a_{12}(x)d{x}_2+\cdots +a_{1n}(x)d{x}_n& =0\\ a_{21}(x)d{x}_1+a_{22}(x)d{x}_2+\cdots +a_{2n}(x)d{x}_n& =0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)d{x}_1+a_{m2}(x)d{x}_2+\cdots +a_{mn}(x)d{x}_n& =0.\end{array}(\ast )$

Рангом пфаффовой системы в точке $x=(x_1,\dots ,x_n)$ называется число $r(x)$, равное рангу матрицы $(a_{ij}(x))$. Обычно бывает $r(x)<n$.

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве $T_x{M}^n$ векторное подпространство размерности $n-r(x)$, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на $M^n$ называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при $r(x)\equiv n-1$ распределение является полем направлений на $M^n$, при $r(x)\equiv n-2$ распределение является полем двумерных плоскостей, а при $r(x)\equiv 1$ распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат $x_1,\dots ,x_n$ одну (например, $x_n$) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на $d{x}_n$, получаем систему ОДУ первого порядка:

$\{\begin{array}{cc}{a}_{11}(x){x_1}^{\prime }+a_{12}(x){x_2}^{\prime }+\cdots +a_{1n-1}(x)x_{n^{\prime }-1}+a_{1n}(x)& =0\\ a_{21}(x){x_1}^{\prime }+a_{22}(x){x_2}^{\prime }+\cdots +a_{2n-1}(x)x_{n^{\prime }-1}+a_{2n}(x)& =0\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x){x_1}^{\prime }+a_{m2}(x){x_2}^{\prime }+\cdots +a_{mn-1}(x)x_{n^{\prime }-1}+a_{mn}(x)& =0,\end{array}(\ast \ast )$

где ${x_i}^{\prime }=d{x}_i/d{x}_n$.

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат $(d{x}_1,\dots ,d{x}_n)$ к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию $M^n$.

Интегрирование пфаффовых систем

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей $1,2,\dots ,n-1$ в многообразии $M^n$, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность $S$ в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к $S$ содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга $m<n$ называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия $M^n$ проходит интегральная поверхность $S_{n-m}$ максимально возможной размерности $n-m$.

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга $m<n$ с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии $M^n$ приводится к каноническому виду

$d{x}_1=0,d{x}_2=0,\dots ,d{x}_m=0.$

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

${\omega }_1\wedge \dots \wedge {\omega }_m\wedge d{\omega }_i=0i=1,\dots ,m,(\ast \ast \ast )$

где $d{\omega }_i$ означает внешний дифференциал 1-формы и $\wedge$ означает внешнее произведение форм.

Примеры

• Пфаффово уравнение $\omega =d{x}_1+d{x}_2+d{x}_3=0$ вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости $x_1+x_2+x_3=c$ в трёхмерном пространстве. С помощью замены ${\tilde{x}}_1=x_1+x_2+x_3$ это уравнение приводится к каноническому виду $d{\tilde{x}}_1=0.$ Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как $d\omega =0.$

• Пфаффово уравнение $\omega =x_{3}d{x}_1+d{x}_2=0$ не является вполне интегрируемым. В этом случае $d\omega =d{x}_3\wedge d{x}_1$ и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

$\omega \wedge d\omega =(x_{3}d{x}_1+d{x}_2)\wedge (d{x}_3\wedge d{x}_1)=d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{x}_3\ne 0.$

См. также

• Распределение (дифференциальная геометрия)
• Слоение

Литература

• Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.