Присоединённое представление группы Ли

Шаблон:Значения Шаблон:Универсальная карточка Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается $Ad$ .

Определение

Пусть $G$ — группа Ли. Касательное пространство $T_{e} G$ в единице группы есть её алгебра Ли $𝔤$ . Для каждого элемента $a \in G$ рассмотрим дифференциал

{Ad}_{a} = d ({Int}_{a})_{e}

{Int}_{a} : x \mapsto a x a^{- 1} .

Полученное действие $Ad : G \to G L (𝔤)$ называется присоединённым представлением.

Если $G \subset G L (V)$ — линейная группа в пространстве $V$ , то
${Ad}_{a} X = a X a^{- 1},$

Дифференциалом присоединённого представления группы

G

Образ группы Ли $G$ при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы $G$ и обозначается $Ad G$ .

Ядро Ker⁡Ad содержит центр группы G.
- Более того, в случае, когда $G$ связна и основное поле имеет характеристику $0$ , совпадает с центром.
Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
Если основное поле имеет характеристику 0 и G связна, то Ad⁡G однозначно определяется алгеброй Ли 𝔤 и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли 𝔤.
- В частности, если $G$ полупроста, то $Ad G$ совпадает со связной компонентой единицы в $Aut 𝔤$ .