Полупростая группа Ли

Полупростая группа Ли — связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Иногда требование связности опускают.

Группа Ли полупроста тогда и только тогда, когда её касательная алгебра полупроста, то есть раскладывается в прямую сумму простых алгебрШаблон:Sfn.

Свойства

• Всякая связная полупростая группа Ли допускает точное конечномерное линейное представлениеШаблон:Sfn.
• Односвязная полупростая группа Ли однозначно (с точностью до изоморфизма групп Ли) определяется своей схемой ДынкинаШаблон:Sfn.
• Всякая полупростая группа Ли является центральным расширением произведения простых групп ЛиШаблон:Нет АИ.
• Неприводимое конечномерное представление связной полупростой группы Ли однозначно (с точностью до изоморфизма представлений) определяется своим Шаблон:IwШаблон:Sfn.

Применение

Теорема Леви-Мальцева о Шаблон:Iw утверждает, что любая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы. Для многих задач это позволяет рассматривать отдельно теорию разрешимых групп Ли и отдельно — полупростых.

Литература

• Шаблон:Книга