Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{*}$ группы Ли $G$ — это представление, Шаблон:Iw к присоединённому. Если $𝔤$ — алгебра Ли группы $G$, соответствующее действие $G$ на пространстве ${𝔤}^{*}$, сопряжённом к $𝔤$, называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на $G$.

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли $G$ играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В Шаблон:Iw Кириллова представления $G$ строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости $G$, которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли и $𝔤$ — её алгебра Ли, $\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔤)$ — присоединённое представление $G$. Тогда коприсоединённое представление ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{*}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({𝔤}^{*})$ определяется как ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_g^{*}:={\left({\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g^{-1}}\right)}^{*}$. Более точно,

$⟨{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g^{*}f,X⟩=⟨f,{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g^{-1}}X⟩,g\in G,X\in 𝔤,f\in {𝔤}^{*},$

где $⟨f,X⟩$ — значение линейного функционала $f$ на векторе $X$.

Пусть ${\mathrm{a}\mathrm{d}}^{*}$ — представление алгебры Ли $𝔤$ в ${𝔤}^{*}$, индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли $G$. Тогда для $X\in 𝔤$ справедливо равенство ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_X^{*}=-{\left({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X\right)}^{*}$, где $\mathrm{a}\mathrm{d}$ — присоединённое представление алгебры Ли $𝔤$. Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{*}$:

$⟨{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X^{*}f,Y⟩:={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp (tX)}^{*}f,Y⟩|}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨f,{\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp (-tX)}Y⟩|}_{t=0}=⟨f,-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X}Y⟩,X,Y\in 𝔤,f\in {𝔤}^{*},$

где $\exp$ — Шаблон:Iw из $𝔤$ в $G$.

Генераторы

Пусть $\phi \in C^1({𝔤}^{*})$ — дифференцируемая функция на ${𝔤}^{*}$. Рассмотрим изменение функции $\phi$ при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы $e^{tX}\subset G$ в направлении вектора $X\in 𝔤$ и продифференцируем его в единице группы:

Шаблон:EF

Здесь ${\mathrm{\nabla }}_f\phi$ — градиент функции $\phi$, который естественным образом отождествляется с элементом алгебры $𝔤$. Выберем некоторый базис $\{e_i\}$ в алгебре $𝔤$ и пусть $\{e^i\}$ — взаимный ему базис в ${𝔤}^{*}$, то есть $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_j^i$, $i,j=1,...,\dim 𝔤$, где ${\delta }_j^i$ — символ Кронекера. Выберем в качестве $X$ базисный вектор $e_i$. Тогда равенство (Шаблон:Eqref) приобретает вид

${\frac{\mathrm{d}\phi ({\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\exp (-t{e}_i)}^{*}f)}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}=C_{ij}^k{f}_k\frac{\partial \phi (f)}{\partial f_j}$

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

${\hat{X}}_i=C_{ij}^k{f}_k\frac{\partial }{\partial f_j},i=1,...,\dim 𝔤$,

где $C_{ij}^k$ — Шаблон:Iw алгебры $𝔤$.

Инварианты

Шаблон:Iw $K$ коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Шаблон:EF

Определим антисимметричную билинейную форму $B_f(X,Y)$ на $𝔤$ посредством равенства

$B_f(X,Y):=⟨f,[X,Y]⟩,X,Y\in 𝔤$.

Количество независимых уравнений в системе (Шаблон:Eqref) равно $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{B}_f$. Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы $B_f$ максимален) называются функциями Казимира алгебры $𝔤$. Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры $𝔤$ и равно

$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤=\dim 𝔤-\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{f\in {𝔤}^{*}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{B}_f$.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира $K_{\mu }$, $\mu =1,...,\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤$, определённых в точках общего положения пространства ${𝔤}^{*}$, могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы $B_f$ ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии $M_s\subset {𝔤}^{*}$ ранг формы $B_f$ равен $\dim 𝔤-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤-2s$, $s=1,...,(\dim 𝔤-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤)/2$, то непостоянные решения $K^{(s)}$ системы (Шаблон:Eqref), ограниченной на подмногообразие $M_s$, называются функциями Казимира типа $s$. Совокупность независимых функций $\{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim 𝔤-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤)/2)}\}$ образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (Шаблон:Eqref) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора $f$.

К-орбиты

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, $𝒪$, проходящая через точку $f$ в сопряжённом пространстве ${𝔤}^{*}$ к алгебре Ли $𝔤$, может быть определена как орбита ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_G^{*}f\subset {𝔤}^{*}$, или, эквивалентно, как однородное пространство $G/\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$, где $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)\subset G$ — стабилизатор точки $f$ относительно коприсоединённого действия группы $G$.

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную $\dim 𝔤-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤$, и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

$K_{\mu }(f)={\kappa }_{\mu },\mu =1,...,\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤.$

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности $\dim 𝔤-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}𝔤-2s$, составляющие особые инвариантные подмногообразия $M_s$, определяются уравнениями

$K_{\mu }^{(s)}(f)={\kappa }_{\mu }^{(s)},\mu =1,...,r_s,$

где $r_s$ — количество независимых функций Казимира типа $s$. Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных ${\kappa }_{\mu }^{(s)}$ соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма Кириллова

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в ${𝔤}^{*}$ и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите $𝒪$ существует замкнутая невырожденная $G$-инвариантная 2-форма ${\omega }_{𝒪}$, которая строится следующим образом. Пусть $B_f$ — определённая выше антисимметричная билинейная форма на $𝔤$. Тогда можно определить ${\omega }_{𝒪}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\mathrm{\Lambda }}^2(𝒪),ℝ)$ посредством равенства

${\omega }_{𝒪}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X^{*}f,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_Y^{*}f):=B_f(X,Y)$.

Существование, невырожденность и $G$-инвариантность ${\omega }_{𝒪}$ вытекают из следующих фактов:

• Касательное пространство $T_f(𝒪)$ может быть отождествлено с $𝔤/\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$, где $\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$ — алгебра Ли группы $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$.
• Ядро отображения $B_f$ есть в точности $\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$.
• $B_f$ инвариантно относительно действия $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$.

Кроме того, форма ${\omega }_{𝒪}$ замкнута. Каноническую 2-форму ${\omega }_{𝒪}$ называют формой Кириллова, Кириллова — Шаблон:Iw или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита $𝒪$ называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу $\sigma$ в $𝒪$ равен целому числу:

$\underset{\sigma }{\int }{\omega }_{𝒪}=n\in Z$.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка Березина

Форма $B_f$ снабжает пространство ${𝔤}^{*}$ структурой Шаблон:Iw со скобкой Ли — Пуассона

$\{\phi ,\psi {\}}_{LP}=B_f(\mathrm{d}\phi ,\mathrm{d}\psi )=C_{ij}^k{f}_k\frac{\partial \phi (f)}{\partial f_i}\frac{\partial \psi (f)}{\partial f_j},\phi ,\psi \in C^2({𝔤}^{*})$,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на ${𝔤}^{*}$. Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина, невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона $\{\cdot ,\cdot {\}}_{{\omega }_{𝒪}}$, порождаемой формой Кириллова:

$\{\phi ,\psi {\}}_{{\omega }_{𝒪}}={\omega }_{𝒪}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi ,\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\psi )={\{\phi ,\psi {\}}_{LP}|}_{𝒪}$.

Здесь $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi$ — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $\phi$.

Свойства К-орбит

• Коприсоединённое действие на К-орбите $(𝒪,{\omega }_{𝒪})$ являетсяa Шаблон:Iw с Шаблон:Iw $𝒪\hookrightarrow {𝔤}^{*}$.
• Если для орбиты $𝒪$ существует поляризация, то вложение $𝒪\hookrightarrow {𝔤}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_i(q,p),i=1,...,\dim 𝔤$, линейными по $1/2\dim 𝒪$ переменным $p$, где $(q,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите $𝒪$.

Примеры

Группа E(2)

Алгебра Ли $𝔢(2)$ группы $E(2)$ движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

$[e_1,e_2]=0,[e_1,e_3]=e_2,[e_2,e_3]=-e_1$

(коммутирующие элементы $e_1$ и $e_2$ соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент $e_3$ — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа $E(2)$ трёхмерна). Соответственно, матрица формы $B_f$ имеет вид

$(B_f)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& f_2\\ 0& 0& -f_1\\ -f_2& f_1& 0\end{array}\right)$

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой $f_1=f_2=0$, представляющей собой особое инвариантное подмногообразие $M_1$ коприсоединённого действия группы $E(2)$ на $𝔢(2{)}^{*}$, поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

${\hat{X}}_1=f_2\frac{\partial }{\partial f_3},{\hat{X}}_2=-f_1\frac{\partial }{\partial f_3},{\hat{X}}_3=-f_2\frac{\partial }{\partial f_1}+f_1\frac{\partial }{\partial f_2}$

выписываются два независимых уравнения

$f_2\frac{\partial K(f)}{\partial f_3}=-f_2\frac{\partial K(f)}{\partial f_1}+f_1\frac{\partial K(f)}{\partial f_2}=0,f_1^2+f_2^2\ne 0$,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

$K(f)=f_1^2+f_2^2=\kappa \equiv j^2,j\ne 0$,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью $M_1$. Особое многообразие уровня ($j=0$) совпадает с $M_1$ и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит $f_1=f_2=0$, $f_3={\kappa }^{(1)}$. Форма Кириллова

${\omega }_{𝒪}=\frac{\mathrm{d}{f}_3\wedge \mathrm{d}{f}_2}{f_1}$

приводится к каноническому виду ${\omega }_{𝒪}=\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$ в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту $j=const$:

$f_1=j\cos q,f_2=j\sin q,f_3=p$.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по $p$. Возможность линейного по «импульсу» $q$-$p$-перехода гарантируется наличием в $𝔢(2)$ двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы $e_1$, $e_2$, являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа SO(3)

$SO(3)$ — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли $𝔰𝔬(3)$

$[e_1,e_2]=e_3,[e_1,e_3]=-e_2,[e_2,e_3]=e_1$

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы $B_f$:

$(B_f)=\left(\begin{array}{ccc}0& f_3& -f_2\\ -f_3& 0& f_1\\ f_2& -f_1& 0\end{array}\right)$.

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке $f\in 𝔰𝔬(3{)}^{*}\mathrm{\setminus }\{0\}$ линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

$K(f)=f_1^2+f_2^2+f_3^2=\kappa \equiv j^2,j\ne 0$,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие $M_1$ состоит из одной точки $\{0\}$, так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре $𝔰𝔬(3)$ нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство $𝔰𝔬(3{)}^{*}$ не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим $p$-переменным для формы Кириллова

${\omega }_{𝒪}=\frac{\mathrm{d}{f}_1\wedge \mathrm{d}{f}_2}{f_3}$.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в $𝔰𝔬(3{)}^{ℂ}$, комплексификации алгебры $𝔰𝔬(3)$. Например, для ковектора $j{e}^3$ таковой является подалгебра $\{e_1+i{e}_2,e_3\}$, поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

$f_1=\frac{i}{2}(1-q^2)p+jq,f_2=-\frac{1}{2}(1+q^2)p-ijq,f_3=-iqp+j,q,p\in ℂ,|p|⩽j$.

Легко проверить, что этим преобразованием форма ${\omega }_{𝒪}$ действительно приводится к каноническому виду.

См. также

• Присоединённое представление
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw

Литература

• Шаблон:Книга
• Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Шаблон:Iw, Vol. 64, American Mathematical Society, Шаблон:ISBN, Шаблон:ISBN

Ссылки

• Шаблон:PlanetMath