Присоединённое представление алгебры Ли

Шаблон:Значения Присоединённым представлением алгебры Ли $𝔤$ называется линейное представление $\mathrm{ad}$ алгебры $𝔤$ в модуле $𝔤$, действующее по формуле

${\mathrm{ad}}_{x}y=[x,y],x,y\in 𝔤,$

где $[\cdot ,\cdot ]$ ― операция в алгебре $𝔤$.

Свойства

• Ядро $\ker \mathrm{ad}$ есть центр алгебры Ли $𝔤$.
• Присоединённые операторы ${\mathrm{ad}}_x$ являются дифференцированиями алгебры $𝔤$ и называются внутренними дифференцированиями.
• Образ $\mathrm{ad}$ называется присоединённой алгеброй и является идеалом в алгебре Ли $\mathrm{Der}𝔤$ всех дифференцирований алгебры $𝔤$, причём $\mathrm{Der}𝔤/\mathrm{ad}𝔤$ есть пространство $H^1(𝔤,𝔤)$ 1-мерных когомологий алгебры Ли $𝔤$, определяемых присоединённым представлением.
  • В частности, $\mathrm{Der}𝔤=\mathrm{ad}𝔤$, если $𝔤$ ― полупростая алгебра Ли над полем характеристики 0.

Литература

• Джекобсон Н. Алгебры Ли, — Шаблон:М, 1964;
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, — 3 изд. — Шаблон:М, 1973;
• Серр Ж. — П. Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., Шаблон:М, 1969;
• Хамфрис Дж. Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

См. также

• Присоединённое представление группы Ли