Скобка Пуассона

Ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на гладком многообразии $M$, $L_v$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля $v$. Коммутатор операторов $L_v$ и $L_u$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле $[v,u]$, для которого

$L_v{L}_u-L_u{L}_v\equiv [L_v,L_u]=L_{[v,u]}$

Компоненты векторного поля $[v,u]$ в произвольной системе координат выражаются через компоненты $v$ и $u$ по формуле

$[v,u{]}_i=\sum _j{v}_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-u_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}.$

Таким образом, поле $[v,u]$ не зависит от системы координат $(x_1,...,x_n),$ которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

$[v,u]=L_{v}u$

В голономном базисе оно принимает вид

$[v,u{]}^{\mu }=v^{\alpha }{\partial }_{\alpha }{u}^{\mu }-u^{\alpha }{\partial }_{\alpha }{v}^{\mu }$

Пример

Пусть $G=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(M)$ есть группа диффеоморфизмов многообразия $M$. Тогда ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{v}w=-\{v,w\},$ где $\{v,w\}$ — скобка Пуассона, $\mathrm{a}\mathrm{d}$ — дифференциал $\mathrm{A}\mathrm{d}$ в единице группы. Символ ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_v$ обозначает образ элемента $v$.

Пусть $t\mapsto g(t)$ является кривой, которая выходит из $k$ с начальной скоростью $\dot{g}=m,$ и пусть $s\mapsto h(s)$ является такой же кривой с начальной скоростью $h^{\prime }=\omega .$ Тогда

$g(t)h(s)g(t{)}^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o(t){)}^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

при $t,s\to 0.$

Вектор $m$ в алгебре Ли $𝔤$ является скоростью в единице $k$ пути $g(t)$ на группе Ли $G$

Свойства

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: $[u,cv]=c[u,v],c$ — функция, не зависящая от $u$ и $v$.
• Антикоммутативность: $[u,v]=-[v,u]$
• $[w,u+v]=[w,u]+[w,v]$
• $[u,u]=0$
• $\frac{\partial [u,v]}{\partial t}=[\frac{\partial u}{\partial t},v]+[u,\frac{\partial v}{\partial t}]$
• $[w,c]=0$
• $[w,u\cdot v]=[w,u]v+u[w,v]$
• $[w,u(v_1,\dots ,v_k)]=\sum _{l=1}^k\frac{\partial u}{\partial v_l}[w,v_l]$
• Тождество Якоби: $\left[\right[u,v],w]+\left[\right[v,w],u]+\left[\right[w,u],v]=0.$
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть $M$ — симплектическое многообразие. Симплектическая структура $\omega$ на $M$ позволяет ввести на множестве функций на $M$ операцию скобок Пуассона, обозначаемую $\{\cdot ,\cdot \}$ или $[\cdot ,\cdot ]$ и задаваемую по правилу

$[F,G]\stackrel{\text{def}}{=}{L}_{𝐅}G\equiv dG(𝐅)\equiv \omega (𝐅,𝐆)$

где $𝐅$ (также $IdF$) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона $F$. Оно определяется через дифференциал функции $F$ и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой $\omega$. Именно, для любого векторного поля $𝐯$

$dF(𝐯)\stackrel{\text{def}}{=}\omega (𝐯,𝐅)$

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности $\omega$ скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

$[F,G]=-[G,F]$

$[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]$

Выражение

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]$

является линейной функцией вторых производных каждой из функций $F,G,H$. Однако

$\begin{array}{c}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\ -L_{Id[G,H]}F+L_{𝐆}{L}_{𝐇}F-L_{𝐇}{L}_{𝐆}F=\\ (-L_{Id[G,H]}+L_{[𝐆,𝐇]})F\end{array}$

Это выражение не содержит вторых производных $F$. Аналогично, оно не содержит вторых производных $G$ и $H$, а потому

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0$

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на $M$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции $H$

$L_{Id[F,G]}H=L_{[𝐅,𝐆]}H$,

то есть

$Id[F,G]=[𝐅,𝐆]$

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

$\mathrm{\forall }F\equiv ̸0\mathrm{\exists }H:[F,H]\ne 0$

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

$[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]$

• Функция $F$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ тогда и только тогда, когда $[F,H]=0$
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона $H$, заданной на многообразии $M$. Полная производная по времени от произвольной функции $f:M\times ℝ\to ℝ$ запишется в виде

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}f=& \frac{\partial f}{\partial t}+\dot{q}\frac{\partial f}{\partial q}+\dot{p}\frac{\partial f}{\partial p}=\\ & \frac{\partial f}{\partial t}+L_{𝐇}f=\\ & \frac{\partial }{\partial t}f+[H,f]\end{array}$

• В канонических координатах $(q_i,p_j)$ скобки Пуассона принимают вид

$[f,g]=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q^i}-\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial g}{\partial p_i})$

Философское значение

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.