Поляризация (алгебра Ли)

Поляриза́ция в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли Шаблон:Iw, а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли, $𝔤$ — её алгебра Ли, ${𝔤}^{*}$ — сопряжённое к $𝔤$ пространство. Посредством $⟨f,X⟩$ обозначим значение линейного функционала (ковектора) $f\in {𝔤}^{*}$ на векторе $X\in 𝔤$. Подалгебра $𝔥$ алгебры $𝔤$ называется подчинённой ковектору $f\in {𝔤}^{*}$, если выполняется условие

$⟨f,[X,Y]⟩=0\mathrm{\forall }X,Y\in 𝔥$,

или, более коротко,

$⟨f,[𝔥,𝔥]⟩=0$.

Пусть, далее, группа $G$ действует на пространстве ${𝔤}^{*}$ коприсоединённым представлением ${\mathrm{A}\mathrm{d}}^{*}$. Обозначим посредством ${𝒪}_f$ орбиту этого действия, проходящую через точку $f$, а ${𝔤}^f$ — алгебру Ли группы $\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(f)$ — стабилизатора точки $f$. Подалгебра $𝔥\subset 𝔤$, подчинённая функционалу $f$, называется поляризацией алгебры $𝔤$ относительно $f$, или, короче, поляризацией ковектора $f$, если она имеет максимально возможную размерность, а именно

$\dim 𝔥=\frac{1}{2}(\dim 𝔤+\dim {𝔤}^f)=\dim 𝔤-\frac{1}{2}\dim {𝒪}_f$.

Условие Пуканского

Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским.

Пусть $𝔥$ — поляризация, соответствующая ковектору $f$, ${𝔥}^{\perp }$ — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов $\lambda \in {𝔤}^{*}$, значение которых на $𝔥$ равно нулю: ${𝔥}^{\perp }:=\{\lambda \in {𝔤}^{*}|⟨\lambda ,𝔥⟩=0\}$. Поляризация $𝔥$ называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского: Шаблон:EF Л. Пуканский показал, что условие (Шаблон:Eqref) гарантирует применимость Шаблон:Iw А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп.

Свойства

• Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы $⟨f,[\cdot ,\cdot ]⟩$ на алгебре Ли $𝔤$.
• Поляризация существует не для всякой пары $(𝔤,f)$.
• Если для функционала $f$ существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты ${𝒪}_f$, причём если $𝔥$ — поляризация для $f$, то ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_g𝔥$ — поляризация для ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_g^{*}f$. Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом.
• Если алгебра Ли $𝔤$ вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки $f\in {𝔤}^{*}$.
• Если $𝒪$ — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой.
• Если для орбиты $𝒪$ существует поляризация, то вложение $𝒪\hookrightarrow {𝔤}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_i(q,p),i=1,...,\dim 𝔤$, линейными по $1/2\dim 𝒪$ переменным $p$, где $(q,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите $𝒪$..