Преобразование Меллина

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.

Определение

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\phi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx$.

Обратное преобразование — формулой:

$\left\{{ℳ}^{-1}\phi \right\}(x)=f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds$.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями Шаблон:Нп3.

Связь с другими преобразованиями

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$.

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s).$

Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой:

$\left\{ℱf\right\}(-s)=\left\{ℬf\right\}(-is)=\{ℳf(-\ln x)\}(-is)$.

Обратно:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(is)$.

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

Примеры

Интеграл Каэна — Меллина

Если:

• $c>0,$
• $\mathrm{\Re }(y)>0,$
• $y^{-s}$ на Шаблон:Нп3,

то

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)y^{-s}ds$,

где

$\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функция.

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Шаблон:Нп2.

Преобразование Меллина для лебегова пространства

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства $L^2(0,\mathrm{\infty })$ любая фундаментальная полоса включает в себя $\frac{1}{2}+iℝ$. В связи с этим возможно задать линейный оператор $\widetilde{ℳ}$ как:

$\widetilde{ℳ}:L^2(0,\mathrm{\infty })\to L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}+is}f(x)dx$.

То есть:

$\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\{ℳf\}(\frac{1}{2}-is)$.

Обычно этот оператор обозначается $ℳ$ и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение $\widetilde{ℳ}$.

Шаблон:Нп3 показывает, что

${\widetilde{ℳ}}^{-1}:L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to L^2(0,\mathrm{\infty }),\{{\widetilde{ℳ}}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}-is}\phi (s)ds.$

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

$\Vert \widetilde{ℳ}f{\Vert }_{L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}=\Vert f{\Vert }_{L^2(0,\mathrm{\infty })}$ для $\mathrm{\forall }f\in L^2(0,\mathrm{\infty })$.

Это объясняет коэффициент $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Связь с теорией вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин.

Если:

• $D=\{s:a⩽\mathrm{\Re }(s)⩽b\},$
• $a⩽0⩽b,$
• $X$ — случайная величина,
• $X^{+}=max\{X,0\},$
• $X^{-}=max\{-X,0\},$

то преобразование Меллина определяется как:

${ℳ}_X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{+}}(x)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{-}}(x),$

где $i$ — мнимая единица.

Преобразование Меллина ${ℳ}_X(it)$ случайной величины $X$ однозначно определяет её функцию распределения $F_x$.

Применение

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Tables of Integral Transforms Шаблон:Wayback at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Mathworld

Ссылки

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Шаблон:Wayback
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Шаблон:Wayback, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Шаблон:Wayback (in Spanish).
• Mellin Transform Methods Шаблон:Wayback, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Шаблон:Wayback