Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Формулы

Пусть заданы некоторые попарно различные точки $x_0,x_1,\dots ,x_n$, называемые также узлами интерполяции, и известны значения $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$ некоторой функции $f$ в этих точках.

Случай неравноотстоящих узлов

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формулеШаблон:Sfn

$P_n(x)=f(x_0)+(x-x_0)f(x_0;x_1)+(x-x_0)(x-x_1)f(x_0;x_1;x_2)+\dots +(x-x_0)\dots (x-x_{n-1})f(x_0;\dots ;x_n),$

где $f(x_0;\dots ;x_n)$ — разделённая разность порядка $n$.

Случай равноотстоящих узлов

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии $h$, то есть $x_i=x_0+ih$, $i=0,\dots ,n$, то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с $x_0$ (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с $x_n$ («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает видШаблон:Sfn

$P_n(x)=y_0+q\mathrm{\Delta }{y}_0+\frac{q(q-1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2{y}_0+\dots +\frac{q(q-1)\dots (q-n+1)}{n!}{\mathrm{\Delta }}^n{y}_0,$

где $q=(x-x_0)/h,y_i=f(x_i)$, а выражения вида ${\mathrm{\Delta }}^k{y}_0$ — конечные разности.

Во втором случае формула принимает видШаблон:Sfn

$P_n(x)=y_n+q\mathrm{\Delta }{y}_{n-1}+\frac{q(q+1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2{y}_{n-2}+\dots +\frac{q(q+1)\dots (q+n-1)}{n!}{\mathrm{\Delta }}^n{y}_0,$

где $q=(x-x_n)/h$.

При $h=1$ справедлива формула

$P_n(x)=\sum _{m=0}^n{C}_{x-x_0}^m\sum _{k=0}^m(-1{)}^{m-k}{C}_m^{k}f(k)$

где $C_x^m$ — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Остаточный член

Шаблон:Seealso Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадаютШаблон:Sfn. Однако остаточный член $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ формулы Ньютона можно записать в другой форме:

• для случая неравноотстоящих узловШаблон:Sfn:

$R_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_n)f(x_0;\dots ;x_n).$

Если функция $f$ имеет производную порядка $n+1$, то $f(x_0;\dots ;x_n)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!},$ где $\xi$ — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.

• для случая равноотстоящих узлов:

для интерполирования вперёдШаблон:Sfn:

$R_n=\frac{h^{n+1}{f}^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}q(q-1)(q-2)\dots (q-n).$

для интерполирования назадШаблон:Sfn:

$R_n=\frac{h^{n+1}{f}^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}q(q+1)(q+2)\dots (q+n).$

См. также

• Интерполяционная формула
• Интерполяционный многочлен
• Эрмитова интерполяция

Литература

• Шаблон:Книга