Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

Определение

Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки $x_0$ задано $n+1$ узлов интерполяции $x_k=x_0+hk,k=0,\dots ,n$ с шагом $h=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ и известны значения функции $f$ в этих узлах:

$f(x_0)=y_0,\dots ,f(x_n)=y_n.$

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между $(k+1)$-м и $k$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn

$\mathrm{\Delta }{y}_k=y_{k+1}-y_k=f(x_{k+1})-f(x_k),k=0,\dots ,n-1.$

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между $k$-м и $(k-1)$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn

$\mathrm{\nabla }{y}_k=y_k-y_{k-1}=f(x_k)-f(x_{k-1}),k=1,\dots ,n.$

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между $(k+1)$-м и $(k-1)$-м значениями $f$ в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn

$\delta y_k=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),k=1,\dots ,n-1.$

Разности высших порядков

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между $(k+1)$-ой и $k$-ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

${\mathrm{\Delta }}^2{y}_k=\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }{y}_k)=\mathrm{\Delta }{y}_{k+1}-\mathrm{\Delta }{y}_k=f(x_{k+2})-2f(x_{k+1})+f(x_k),k=0,\dots ,n-2.$

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка $m$ (для $m\le n$) называют разность между $(k+1)$-ой и $k$-ой конечными разностями порядка $m-1$, то естьШаблон:Sfn

${\mathrm{\Delta }}^m{y}_k=\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Delta }}^{m-1}{y}_k)={\mathrm{\Delta }}^{m-1}{y}_{k+1}-{\mathrm{\Delta }}^{m-1}{y}_k,k=0,\dots ,n-m.$

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядковШаблон:Sfn:

${\mathrm{\nabla }}^m{y}_k=\mathrm{\nabla }({\mathrm{\nabla }}^{m-1}{y}_k),$

${\delta }^m{y}_k=\delta ({\delta }^{m-1}{y}_k).$

Через операторы

Если ввести оператор смещения $\mathrm{E}$ такой, что $\mathrm{E}{y}_k=y_{k+1}$, то можно определить оператор восходящей конечной разности $\mathrm{\Delta }$ как $\mathrm{E}-1$. Для него справедливо соотношение

${\mathrm{\Delta }}^k=(\mathrm{E}-1{)}^k$,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления $\mathrm{\Delta }$ заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.

Общие формулы

Часто также используется другое обозначение: ${\mathrm{\Delta }}_h^m(f,x)$ — восходящая конечная разность порядка $m$ от функции $f$ c шагом $h$, взятая в точке $x$. Например, ${\mathrm{\Delta }}_h^1(f,x)=f(x+h)-f(x)$. Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение $\underset{h}{\overset{m}{\mathrm{\nabla }}}(f,x)$, а для центральных — ${\delta }_h^m(f,x)$.

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентовШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}_h^m(f,x)=\sum _{i=0}^m(-1{)}^{m-i}{C}_m^{i}f(x+ih),$

$\underset{h}{\overset{m}{\mathrm{\nabla }}}(f,x)=\sum _{i=0}^m(-1{)}^i{C}_m^{i}f(x-ih),$

${\delta }_h^m(f,x)=\sum _{i=0}^m(-1{)}^i{C}_m^{i}f(x+(\frac{m}{2}-i)h).$

Общая формула для ${\mathrm{\Delta }}_h^m(f,x)$ используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

Пример

Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

$\begin{array}{ccc}f(x)& =& 2x^3-2x^2+3x-1,\\ x_0& =& 0,\\ n& =& 3,\\ h& =& 1.\end{array}$

В зелёных клетках расположены значения $y_0,\dots ,y_n$, в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производными

Производная функции $f$ в точке $x$ определяется с помощью предела:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность ${\mathrm{\Delta }}_h^1(f,x)$, делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы ТейлораШаблон:Sfn:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^1(f,x)}{h}-f^{\prime }(x)=O(h)\to 0,h\to 0.$

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

$\frac{\underset{h}{\overset{1}{\mathrm{\nabla }}}(f,x)}{h}-f^{\prime }(x)=O(h)\to 0,h\to 0.$

Центральная разность даёт более точное приближение:

$\frac{{\delta }_h^1(f,x)}{2h}-f^{\prime }(x)=O\left(h^2\right),h\to 0.$

Конечные разности порядка $m$, делённые на шаг, возведённый в степень $m$, аппроксимируют производную порядка $m$. Порядок погрешности приближения при этом не меняетсяШаблон:Sfn:

$\frac{d^{m}f}{d{x}^m}(x)=\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^m(f,x)}{h^m}+O(h)=\frac{\underset{h}{\overset{m}{\mathrm{\nabla }}}(f,x)}{h^m}+O(h)=\frac{{\delta }_h^m(f,x)}{h^m}+O\left(h^2\right).$

Связанные понятия

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Корн Г. А., Корн Т. М.: Справочник по математике

См. также

• Коэффициенты формул численного дифференцирования
• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
• Метод конечных разностей
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Разделенная разность
• Биномиальные преобразования