Интерполяция

Шаблон:Значения Интерполя́ция (интерполи́рование; от Шаблон:Lang-la — разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный) — общее наименование для вычислительно-математических техник восстановления функции по имеющемуся дискретному набору её известных значений. Термин и первый вариант техники впервые употребил Джон Валлис в трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В зависимости от природы имеющихся значений интерполяция может применяться как для точного восстановления функции, так и для аппроксимации — нахождения функции, приблизительно соответствующей данным, проходящей через известные точки, полученные, например, опытным путём или методом случайной выборки. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Использование упрощённой функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категорииШаблон:Sfn; к классическим результатам в этом направлении относятся теорема Рисса — Торина и Шаблон:Iw, являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Шаблон:ЯкорьДля системы несовпадающих точек $x_i$ ($i\in \{1,\dots ,N\}$) из некоторой области $D$ и значений функции $f$ в этих точках $y_i=f(x_i)$ задача интерполяции состоит в поиске такой функции $F$ из заданного класса функций, что $F(x_i)=y_i$ для каждого

Шаблон:ЯкорьТочки $x_i$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой. Пары $(x_i,y_i)$ называют точками данных или базовыми точками. Разность между «соседними» значениями $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ называют шагом интерполяционной сетки; шаг может быть как переменным, так и постоянным.

Шаблон:ЯкорьФункцию $F(x)$ — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Способы интерполяции

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа. Другой относительно простой способ — кусочно-линейная интерполяция, когда между каждой пары известных значений $y_i$ и $y_{i+1}$ соседних точек данных $x_i$ и $x_{i+1}$ проводится линейная функция:

$F_{i,i+1}(x)=y_i\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i}+y_{i+1}\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}$,

в итоге интерполянтом является кусочно-линейная функция — совокупность всех таких отрезков.

Чаще всего применяют интерполяцию алгебраическими многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса). Простейшие полиномиальные техники интерполяции составляют класс интерполяционных формул, среди них — интерполяционные формулы Ньютона, интерполяционный многочлен Лагранжа, интерполяционные формулы Бесселя и Стирлинга.

Шаблон:ЯкорьЛагранжева интерполяция — поиск многочлена $n$-й степени проходящего через $n$ заданных точек.

{{Якорь|Биркгофова интерполяция}Более сложные схемы интерполяции возникают, если для каждой точки кроме значений функции заданы значения производных до некоторой степени — $y^{(s{)}_i}$ (где $s=0,\dots ,k_i$); основная из них — эрмитова интерполяция, когда ищется многочлен степени:

$\sum _{i=1}^n(k_i-1)-1$,

принимающий в заданных точках в точности заданные значения производных. Модификация этой схемы — биркгофова интерполяция, когда не все значения функции или значения её производных заданы. Если в лангранжевой и эрмитовой схеме задача всегда имеет явное решение, то в случае биркгофовой интерполяции решения может не быть.

Интерполяция одним многочленом высокой степени может давать значительные осцилляции (феномен Рунге); этого недостатка лишена кусочно-линейная интерполяция, но она же лишена свойства гладкости, чтобы решить эту проблему разработана техника сплайнов — кусочных схем, где каждый интервал известных данных интеполирован собственным многочленом, и повышая их степень можно повысить гладкость решения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — Шаблон:М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
• Шаблон:Нп5 Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — Шаблон:М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
• Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — Шаблон:М.: Мир, 1980. — 664 c.