Эрмитова интерполяция

Эрмитова интерполяция - метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.

В отличие от интерполяции Ньютона, эрмитова интерполяция строит многочлен, значения которого в выбранных точках совпадают со значениями исходной функции в этих точках, и все производные многочлена вплоть до некоторого порядка m в данных точках совпадают со значениями производных функции. Это означает, что n(m + 1) величин

$\begin{array}{cccc}(x_0,y_0),& (x_1,y_1),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n-1}),\\ (x_0,{y_0}^{\prime }),& (x_1,{y_1}^{\prime }),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n^{\prime }-1}),\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ (x_0,y_0^{(m)}),& (x_1,y_1^{(m)}),& \dots ,& (x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{array}$

должны быть известны, тогда как для ньютоновской интерполяции необходимы только первые n значений. Полученный многочлен может иметь степень не более, чем n(m + 1) − 1, максимальная степень многочлена Ньютона же равна n − 1. (В общем случае m не обязательно должно быть фиксировано, то есть в одних точках может быть известно значение большего количества производных, чем в других. В этом случае многочлен будет иметь степень N − 1, где N - число известных значений.)

Использование

Простой случай

При использовании разделенных разностей для вычисления многочлена Эрмита, первым шагом является копирование каждой точки m раз. (Здесь мы рассмотрим простой случай, когда для всех точек $m=1$.) Поэтому, дана $n+1$ точка $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n$, и значения $f(x_0),f(x_1),\dots ,f(x_n)$ и $f^{\prime }(x_0),f^{\prime }(x_1),\dots ,f^{\prime }(x_n)$ функции f, которую мы хотим интерполировать. Определим новый набор данных

$z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$

такой, что

$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i$

Теперь определим таблицу разделенных разностей для точек $z_0,z_1,\dots ,z_{2n+1}$. Однако, для некоторых разделенных разностей

$z_i=z_{i+1}⟹f[z_i,z_{i+1}]=\frac{f(z_{i+1})-f(z_i)}{z_{i+1}-z_i}=\frac{0}{0}$

что есть неопределенность! В этом случае заменим эту разделенную разность значением $f^{\prime }(z_i)$, а другие вычислим обычным способом.

Общий случай

В общем случае полагаем, что в данных точках $x_i$ известны производные функции f до порядка k включительно. Тогда набор данных $z_0,z_1,\dots ,z_N$ содержит k копий $x_i$. При создании таблицы разделенных разностей при $j=2,3,\dots ,k$ одинаковые значения будут вычислены как

$\frac{f^{(j)}(x_i)}{j!}$.

Например,

$f[x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{″}(x_i)}{2}$

$f[x_i,x_i,x_i,x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}$

и так далее.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=x^8+1$. Вычислив значения функции и её первых двух производных в точках $x\in \{-1,0,1\}$, получим следующие данные:

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Так как мы работаем с двумя производными, строим множество $\{z_i\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. Таблица разделенных разностей тогда имеет вид:

$\begin{array}{cccccccccc}{z}_0=-1& f[z_0]=2& & & & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_0)}{1}=-8& & & & & & & \\ z_1=-1& f[z_1]=2& & \frac{f^{″}(z_1)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_1)}{1}=-8& & f[z_3,z_2,z_1,z_0]=-21& & & & & \\ z_2=-1& f[z_2]=2& & f[z_3,z_2,z_1]=7& & 15& & & & \\ & & f[z_3,z_2]=-1& & f[z_4,z_3,z_2,z_1]=-6& & -10& & & \\ z_3=0& f[z_3]=1& & f[z_4,z_3,z_2]=1& & 5& & 4& & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_3)}{1}=0& & f[z_5,z_4,z_3,z_2]=-1& & -2& & -1& \\ z_4=0& f[z_4]=1& & \frac{f^{″}(z_4)}{2}=0& & 1& & 2& & 1\\ & & \frac{f^{\prime }(z_4)}{1}=0& & f[z_6,z_5,z_4,z_3]=1& & 2& & 1& \\ z_5=0& f[z_5]=1& & f[z_6,z_5,z_4]=1& & 5& & 4& & \\ & & f[z_6,z_5]=1& & f[z_7,z_6,z_5,z_4]=6& & 10& & & \\ z_6=1& f[z_6]=2& & f[z_7,z_6,z_5]=7& & 15& & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_7)}{1}=8& & f[z_8,z_7,z_6,z_5]=21& & & & & \\ z_7=1& f[z_7]=2& & \frac{f^{″}(z_7)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_8)}{1}=8& & & & & & & \\ z_8=1& f[z_8]=2& & & & & & & & \end{array}$

и получаем многочлен

$\begin{array}{cc}P(x)& =2-8(x+1)+28(x+1{)}^2-21(x+1{)}^3+15x(x+1{)}^3-10x^2(x+1{)}^3\\ & +4x^3(x+1{)}^3-1x^3(x+1{)}^3(x-1)+x^3(x+1{)}^3(x-1{)}^2\\ & =2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^2-63x^2+45x^2-10x^2-21x^3\\ & +45x^3-30x^3+4x^3+x^3+x^3+15x^4-30x^4+12x^4+2x^4+x^4\\ & -10x^5+12x^5-2x^5+4x^5-2x^5-2x^5-x^6+x^6-x^7+x^7+x^8\\ & =x^8+1.\end{array}$

взятием коэффициентов диагонали таблицы разделенных разностей, и умножением коэффициента с номером k на $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_i)$, как при получении многочлена Ньютона.

Погрешность эрмитовой интерполяции

Назовем найденный многочлен H и исходную функцию f. Для точек $x\in [x_0,x_n]$, функция ошибки определяется как

$f(x)-H(x)=\frac{f^{(K)}(c)}{K!}\prod _i(x-x_i{)}^{k_i}$,

где c неизвестная из диапазона $[x_0,x_N]$, K - общее число данных значений плюс один, а $k_i$ - число производных, известных в каждой точке $x_i$, плюс один.

См. также

• Интерполяционные формулы Ньютона