Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции $f(x)$ при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен $P_n(x)$ степени $n$, значения которого в заданных точках $x_0,x_1,\dots ,x_n$ совпадают со значениями $y_0,y_1,\dots ,y_n$ функции $f$ в этих точках. Многочлен $P_n(x)$ определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Шаблон:Main Функция $f$ может быть интерполирована на отрезке $[x_0,x_n]$ интерполяционным многочленом $P_n(x)$, записанным в форме ЛагранжаШаблон:Sfn:

$P_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k\frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots (x-x_n)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots (x_k-x_n)},$

при этом ошибка интерполирования функции $f(x)$ многочленом $P_n(x)$Шаблон:Sfn:

$|f(x)-P_n(x)|\le \frac{\Vert f^{(n+1)}(x)\Vert }{(n+1)!}\cdot \Vert {\mathrm{\Pi }}_n(x)\Vert ,{\mathrm{\Pi }}_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_n).$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

$\Vert f^{(n+1)}(x)\Vert =\underset{x\in [x_0,x_n]}{\max }|f^{(n+1)}(x)|,\Vert {\mathrm{\Pi }}_n(x)\Vert =\underset{x\in [x_0,x_n]}{\max }|{\mathrm{\Pi }}_n(x)|.$

Интерполяционная формула Ньютона

Шаблон:Main Если точки $x_0,x_1,\dots ,x_n$ расположены на равных расстояниях $(x_k=x_0+kh)$, многочлен $P_n(x)$ можно записать такШаблон:Sfn:

$P_n(x_0+th)=y_0+t\mathrm{\Delta }{y}_0+\frac{t(t-1)}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{y}_0+\dots +\frac{t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}{\mathrm{\Delta }}^n{y}_0.$

Здесь $x_0+th=x$, а ${\mathrm{\Delta }}^k$ — конечная разность порядка $k$. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения $f$, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от $x_0$. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений $x$, близких к $x_0$. При интерполировании функций для значений $x$, близких к $x_k$, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узловШаблон:Sfn:

$P_n(x)=\sum _{m=0}^n(C_x^m\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^{k}f(k))$

где $C_x^m$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой $k$-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычисленийШаблон:Sfn.

Интерполяционная формула Стирлинга

Если использовать набор узлов $x_k=x_0+kh$, где $k=-n,-n+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,n$, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу СтирлингаШаблон:Sfn:

$P_n(x_0+th)=y_0+t\delta y_0+\frac{t^2}{2}{\delta }^2{y}_0+\dots +\frac{t(t^2-1)\dots (t^2-(n-1{)}^2)}{(2n-1)!}{\delta }^{2n-1}{y}_0+\frac{t^2(t^2-1)\dots (t^2-(n-1{)}^2)}{(2n)!}{\delta }^{2n}{y}_0.$

Здесь $t=\frac{x-x_0}{h}$, а ${\delta }^k$ — центральная конечная разность порядка $k$.

Интерполяционная формула Бесселя

Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую видШаблон:Sfn

$P_n(x_0+th)=y_{1/2}+(t-\frac{1}{2})\mathrm{\Delta }{y}_{1/2}+\frac{t(t-1)}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{y}_{1/2}+\cdots +\frac{t(t^2-1)\cdots (t^2-(n-1{)}^2)(t-n)}{(2n)!}{\mathrm{\Delta }}^{2n}{y}_{1/2}+\frac{t(t^2-1)\cdots (t^2-(n-1{)}^2)(t-n)(t-\frac{1}{2})}{(2n+1)!}{\mathrm{\Delta }}^{2n+1}{y}_{1/2}.$

Эта формула особенно удобна для интерполирования при $t=\frac{1}{2}$, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению $x=x_0+\frac{1}{2}h$, то есть интерполяции «на середину»Шаблон:Sfn.

См. также

• Интерполяция
• Интерполяционная формула Гаусса
• Эрмитова интерполяция
• Сплайн

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]