Интерполяционная формула Гаусса

Интерполяцио́нная фо́рмула Га́усса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования $x$ узлы. Строится с помощью интерполяционной формулы Ньютона.

Пусть необходимо интерполировать некоторую функцию $f$. Если $x=x_0+th$, где $x_0$ — некоторая начальная точка, $h>0$, то формула

$G_{2n}(x_0+th)=f_0+f_{1/2}^{1}t+f_0^2\frac{t(t-1)}{2!}+\dots +f_{1/2}^{2n-1}\frac{t(t^2-1)\dots [t^2-(n-1{)}^2]}{(2n-1)!}+f_0^{2n}\frac{t(t^2-1)\dots [t^2-(n-1{)}^2](t-n)}{(2n)!},$

написанная по узлам $x_0,x_0+h,x_0-h,\dots ,x_0+nh,x_0-nh$, называется формулой Гаусса для интерполирования вперёд, а формула

$G_{2n}(x_0+th)=f_0+f_{-1/2}^{1}t+f_0^2\frac{t(t+1)}{2!}+\dots +f_{-1/2}^{2n-1}\frac{t(t^2-1)\dots [t^2-(n-1{)}^2]}{(2n-1)!}+f_0^{2n}\frac{t(t^2-1)\dots [t^2-(n-1{)}^2](t+n)}{(2n)!},$

написанная по узлам $x_0,x_0-h,x_0+h,\dots ,x_0-nh,x_0+nh$, называется формулой Гаусса для интерполирования назад.

В обеих формулах использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

$f_i=f(x_i),f_{i+1/2}^1=f_{i+1}-f_i,f_i^m=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}$

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Литература

• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Бахвалов Н. С. Численные методы, М., 1973.