Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов приближённого вычисления значения производной некоторой функции, заданной таблично или имеющей сложное аналитическое выражение.

Конечные разности

Шаблон:Основная статья Производная функции $f$ в точке $x$ определяется с помощью предела:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

В числителе дроби под знаком предела стоит конечная разность функции $f$, в знаменателе — шаг этой разности. Поэтому простейшим методом аппроксимации производной является использование конечных разностей функции $f$ с некоторым достаточно малым шагом $h$. Например, выражение

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

приближает производную функции $f$ в точке $x$ с точностью до величины, пропорциональной $h$. Использование выражения

$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

позволяет сократить ошибку приближения до величины, пропорциональной $h^2$.

Конечными разностями можно также приближать производные высших порядков.

Интерполяция

Если известны значения функции $f$ в некоторых узлах $x_0,x_1,\dots ,x_N$, то можно построить интерполяционный полином $P_N(x)$ (например, в форме Лагранжа или в форме Ньютона) и приближенно положить

$f^{(r)}(x)\approx P_N^{(r)}(x),0\le r\le N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования.

Иногда наряду с приближенным равенством удаётся (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член $R(x)$, называемый погрешностью численного дифференцирования:

$f^{(r)}(x)=P_N^{(r)}(x)+R(x),0\le r\le N.$

Такие выражения называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой величина $h=\text{max}\{x_i-x_{i-1}|i=1,\dots ,N\}$ входит в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования.

Далее приводятся несколько формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой $(r=1)$ и второй $(r=2)$ производных для равноотстоящих узлов с постоянным шагом $h>0$, полученных с использованием формулы Лагранжа:

• $r=1,N=1$ (два узла):

$f^{\prime }(x_0)=\frac{f_1-f_0}{h}-\frac{h}{2}{f}^{″}(\xi ),$

$f^{\prime }(x_1)=\frac{f_1-f_0}{h}+\frac{h}{2}{f}^{″}(\xi ).$

• $r=1,N=2$ (три узла):

$f^{\prime }(x_0)=\frac{-3f_0+4f_1-f_2}{2h}+\frac{h^2}{3}{f}^{‴}(\xi ),$

$f^{\prime }(x_1)=\frac{f_2-f_0}{2h}-\frac{h^2}{6}{f}^{‴}(\xi ),$

$f^{\prime }(x_2)=\frac{f_0-4f_1+3f_2}{2h}+\frac{h^2}{3}{f}^{‴}(\xi ).$

• $r=2,N=2$ (три узла):

$f^{″}(x_0)=\frac{f_0-2f_1+f_2}{h^2}-h{f}^{‴}(\xi ),$

$f^{″}(x_1)=\frac{f_0-2f_1+f_2}{h^2}-\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi ),$

$f^{″}(x_2)=\frac{f_0-2f_1+f_2}{h^2}+h{f}^{‴}(\xi ).$

• $r=2,N=3$ (четыре узла):

$f^{″}(x_0)=\frac{2f_0-5f_1+4f_2-f_3}{h^2}+\frac{11h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi ),$

$f^{″}(x_1)=\frac{f_0-2f_1+f_2}{h^2}-\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi ),$

$f^{″}(x_2)=\frac{f_1-2f_2+f_3}{h^2}-\frac{h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi ),$

$f^{″}(x_3)=\frac{-f_0+4f_1-5f_2+2f_3}{h^2}+\frac{11h^2}{12}{f}^{(4)}(\xi ).$

Здесь $f_i=f(x_i)$, $i=0,\dots ,N$, а $\xi$ — некоторая промежуточная точка между наибольшим и наименьшим из узлов.

В общем случае коэффициенты формул численного дифференцирования можно вычислить для произвольной сетки узлов и любого порядка производной.

Неустранимая погрешность

В формулах численного дифференцирования с постоянным шагом $h$ значения функции $f$ делятся на $h^r$, где $r$ — порядок вычисляемой производной. Поэтому при малом $h$ неустранимые погрешности в значениях функции $f$ оказывают сильное влияние на результат численного дифференцирования. Таким образом, возникает задача выбора оптимального шага $h$, так как погрешность собственно метода стремится к нулю при $h\to 0$, а неустранимая погрешность растет. В результате общая погрешность, которая возникает при численном дифференцировании, может неограниченно возрастать при $h\to 0$. Поэтому задача численного дифференцирования считается некорректно поставленной.

Комплексные числа

Классические приближения конечными разностями содержат неустранимую погрешность и являются плохо обусловленными. Однако, если функция $f$ является голоморфной, принимает вещественные значения на вещественной прямой и может быть оценена в любой окрестности любой вещественной точки комплексной плоскости, то её производная может быть вычислена устойчивыми методами. Например, первую производную можно сосчитать по формуле с комплексным шагом:

$f^{\prime }(x)=\frac{\text{Im}(f(x+ih))}{h}+O\left(h^2\right),$

где $i$ — мнимая единица. Эту формулу можно получить из следующего разложения в ряд Тейлора:

$f(x+ih)=f(x)+ih{f}^{\prime }(x)-h^2\frac{f^{″}(x)}{2!}-i{h}^3\frac{f^{‴}(x)}{3!}+\dots .$

В общем случае производные произвольного порядка можно вычислить с помощью интегральной формулы Коши:

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}\mathrm{d}z.$

Интеграл можно вычислять приближённо.

Литература

• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — 3-е изд., доп. и перераб. — Шаблон:М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное – М.: Физматгиз. 1962.
• Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – М.: Наука. 1982. – 342 с.

См. также

• Разделенная разность
• Численное интегрирование