Модуль непрерывности

Для любой функции $f$, определённой на множестве $E$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ${\omega }_f(\delta )$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

${\omega }_f(\delta )=\sup \{|f(x_1)-f(x_2)|:(x_1,x_2\in E)\wedge |x_1-x_2|<\delta \},$

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из $E$ длиной меньше $\delta$. Также в литературе встречаются другие обозначения: $\omega (f,\delta )$ и (реже) $\omega (\delta ,f)$.

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом $\delta$ она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если $E$ выпукло:

  ${\omega }_f({\delta }_1+{\delta }_2)⩽{\omega }_f({\delta }_1)+{\omega }_f({\delta }_2).$

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  ${\omega }_f(0)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}0.$

• Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция $f$ определена на отрезке $[a,b]$ и непрерывна на нём, то $\underset{\delta \to 0+}{\lim }{\omega }_f(\delta )=0$, и наоборот. Данный предел обозначается также ${\omega }_f(0+)$.
• Если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке $[0,b-a]$.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$.

${\omega }_f(\delta )=\sup \{|{\mathrm{\Delta }}_h^1(f,x)|:(x\in E)\wedge |h|<\delta \}.$

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$, то получим определение модуля непрерывности порядка $n$. Обычное обозначение для таких модулей — ${\omega }_n(f,\delta )$.

Свойства

• Если $k$ — целое число, то ${\omega }_n(f,k\delta )⩽k^n{\omega }_n(f,\delta ).$

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

Ссылки

• Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера