Теорема о равномерной непрерывности

Шаблон:Значения Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства $(X,{\rho }_X)$ и $(Y,{\rho }_Y).$ Пусть также дано компактное подмножество $A\subset X$ и определённая на нём непрерывная функция $f:A\to Y.$ Тогда $f$ равномерно непрерывна на $A.$

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ$ равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

  $f(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне. Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале. В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.