Колебание функции

Колебание функции на множестве $E$ — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек $x_1$, $x_2$ $\in$ $E$.

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина $\omega (f,E)=\underset{x_1,x_2\in E}{\sup }|f(x_1)-f(x_2)|$ называется колебанием функции $f:X\to ℝ$ на множестве $E\subset X$.

Если теперь фиксировать $\delta >0$, то можно определить колебание функции $f$ на множестве $U_E^{\delta }(a)$; функция $\omega (f,a,\delta )=\omega (f,U_E^{\delta }(a))$ является невозрастающей функцией при $\delta \to +0$ и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при $\delta \to +0$,
• либо для любого $\delta >0$ будет $\omega (f,a)=+\mathrm{\infty }$.

Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке.

Связанное определение

Величина $\omega (f,a):=\underset{\delta \to +0}{\lim }\omega (f,U_E^{\delta }(a))$ называется колебанием функции $f$ в точке $a$.

Свойства

• Функция $f:E\to ℝ$ непрерывна в точке $a\in E$, предельной для множества $E$ тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

$f\in C(\{a\})\iff \omega (f,a)=0$.

• Функция $f:E\to ℝ$ непрерывна на множестве $E$ тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ существует элемент $B$ базы $𝔹$, колебание на котором будет меньше чем заданное $\epsilon$:

$f\in C(E)\iff \mathrm{\exists }B\in 𝔹:\omega (f,B)<\epsilon$.

См. также

• Модуль непрерывности
• Критерий Коши
• Предел вдоль фильтра