Предел вдоль фильтра

Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе) — обобщение понятия предела.

Определение фильтра

Пусть дано множество $X.$ Непустая система $𝔅$ подмножеств множества $X$ называется базисом фильтра (базой) множества $X$, если

• для любого $B\in 𝔅$ выполнено $B\ne \varnothing ;$
• для любых $B_1,B_2\in 𝔅$ существует $B_3\in 𝔅$ такое, что $B_3\subset B_1\cap B_2.$

Определение предела

Везде далее $𝔅$ — базис фильтра (база) множества $X$.

Предел числовой функции

Пусть $f:X\to ℝ$. Число $A\in ℝ$ называется пределом функции $f$ по базе $𝔅,$ если

для любого $\epsilon >0$ существует $B\in 𝔅$ такое, что для всех $x\in B$ выполнено неравенство $|f(x)-A|<\epsilon .$

Обозначение предела по базе: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{𝔅}f(x)=A.$

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

Пусть $(M,\rho )$ — метрическое пространство и $f:X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе $𝔅,$ если

для любого $\epsilon >0$ существует $B\in 𝔅$ такое, что для всех $x\in B$ выполнено неравенство $\rho (f(x),a)<\epsilon .$

Обозначение: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{𝔅}f(x)=a.$

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

Пусть $(M,𝒯)$ — топологическое пространство и $f:X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе $𝔅,$ если

для любой окрестности $V$ точки $a$ существует $B\in 𝔅$ такое, что $f(B)\subset V$, то есть для всех $x\in B$ выполняется включение $f(x)\in V$.

Обозначение: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{𝔅}f(x)=a.$

Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство $(M,𝒯)$ — хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры

Обычный предел

Пусть $(X,𝒯)$ — топологическое пространство, и $M\subset X.$ Пусть $a\in M^{\prime }.$ Тогда система множеств

$𝔅=\{M\cap \dot{U}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in 𝒯\}$

является базисом фильтра множества $M$ и обозначается $M\ni x\to a$ или просто $x\to a.$ Предел функции по базе $x\to a$ множества $M$ называется пределом функции в точке $a$ и обозначается записью $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)$.

Односторонние пределы

• Пусть $M\subset ℝ,$ и $a\in (M\cap (a,\mathrm{\infty }){)}^{\prime }.$ Тогда система множеств

$𝔅=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}$

является базисом фильтра и обозначается $x\to a+$ или $x\to a+0.$ Предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a+}f(x)$ называется правосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

• Пусть $M\subset ℝ,$ и $a\in (M\cap (-\mathrm{\infty },a){)}^{\prime }.$ Тогда система множеств

$𝔅=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}$

является базисом фильтра и обозначается $x\to a-$ или $x\to a-0.$ Предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a-}f(x)$ называется левосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

Пределы на бесконечности

• Пусть $M\subset ℝ,$ и $\sup M=\mathrm{\infty }.$ Тогда система множеств

$𝔅=\{M\cap (T,\mathrm{\infty })\mid T\in ℝ\}.$

является базисом фильтра и обозначается $x\to \mathrm{\infty }$ или $x\to +\mathrm{\infty }.$ Предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к бесконечности.

• Пусть $M\subset ℝ,$ и $\inf M=-\mathrm{\infty }.$ Тогда система множеств

$𝔅=\{M\cap (-\mathrm{\infty },T)\mid T\in ℝ\}.$

является базисом фильтра и обозначается $x\to -\mathrm{\infty }.$ Предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Система множеств $𝔅=\{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},$ где

$B_n=\{n,n+1,n+2,\dots \}n\in \mathbb{N},$

является базисом фильтра и обозначается $n\to \mathrm{\infty }.$ Функция $n\in \mathbb{N}\mapsto f_n\in ℝ$ называется числовой последовательностью, а предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n$ пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Шаблон:Main Пусть $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ.$ Назовём размеченным разбиением отрезка $[a,b]$ пару $T=(\{a=x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1},x_n=b\},\{{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n\}),$ такую, что $\mathrm{\forall }i\in \{1,\cdots ,n\}{x}_{i-1}<x_i\wedge {\xi }_i\in [x_{i-1},x_i].$ Назовём диаметром разбиения $T$ число $d(T)=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{i\in \{1,\dots ,n\}}(x_i-x_{i-1}).$ Тогда система множеств $𝔅=\{B_{\delta }{\}}_{\delta >0},$ где

$B_{\delta }=\{T\in 𝔗\mid d(T)<\delta \}$

является базисом фильтра в пространстве $𝔗$ всех размеченных разбиений $[a,b].$ Определим функцию $S_f:𝔗\to ℝ$ равенством

$S_f(T)=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}),T\in 𝔗.$

Тогда предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{𝔅}{S}_f(T)$ называется интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a,b].$

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — Шаблон:М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.