Фильтр (математика)

Шаблон:Значения Фильтр — непустое подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее следующим двум условиям:

• если элемент $x$ входит в фильтр, то и любой элемент больший него тоже входит в фильтр;
• если два элемента $x,y$ входят в фильтр, то в него входит хотя бы один элемент $z$ такой, что $z\le x,z\le y$.Шаблон:Sfn

Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество $F$ полурешётки $L$ называется фильтром, если

• для всех $a,b\in F$, $a\wedge b\in F$
• для всех $a\in F$ и $b$ таких, что $a\le b$, $b\in F$

Фильтр называется собственным, если $F\ne L$.

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$ решётки называется простым, если в нём для всех $a,b\in L$ из того, что $a\vee b\in F$, следует, что либо $a\in F$, либо $b\in F$.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$.

Если $F$ фильтр, то $L\mathrm{\setminus }F$ является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре $M$ называется подмножество $D\subseteq M$, для которого выполняются условияШаблон:Sfn:

• $D\ne \varnothing$,
• $x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$,
• $x\in D,x⩽y\Rightarrow y\in D$,
• $x\in D\Rightarrow \overline{x}\notin D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• $\mathrm{\forall }x\in M:x\in D\vee \overline{x}\in D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

• $\mathrm{\forall }x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$.

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на $M$.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$ можно определить решётку его подмножеств $(𝒫(X),\subseteq )$. Тогда фильтр $𝔉$ на $X$ определяется как подмножество $𝒫(X)$, удовлетворяющее следующим условиямШаблон:Sfn:

• $𝔉\ne \varnothing$
• $\varnothing \notin 𝔉$
• пересечение любых двух элементов $𝔉$ лежит в $𝔉$
• надмножество любого элемента $𝔉$ лежит в $𝔉$

Фильтр вида ${𝔉}_Z=\{Y\in 𝒫(X)\mid Z\subseteq Y\}$ называется фильтром, порожденным множеством $Z$. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть $𝔉$ — фильтр на множестве $X$. Семейство $𝔅$ подмножеств $B\subset 𝔉$ называется базой (базисом) фильтра $𝔉$, если любой элемент фильтра $𝔉$ содержит некоторый элемент базы $𝔅$, то есть для любого $Y\in 𝔉$ существует $B\in 𝔅$ такое, что $B\subset Y$. При этом фильтр $𝔉$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из $𝔅$. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база $𝔅$ порождает фильтр $𝔉$

Для того, чтобы семейство $𝔅=\{B\}$ подмножеств множества $X$ являлось базой некоторого фильтра на $X$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

• $𝔅\ne \varnothing$;
• $\varnothing \in ̸𝔅$;
• для любых $A,B\in 𝔅$ существует $C\in 𝔅$ такое, что $A\cap B\supset C$.

Две базы $𝔅$ и ${𝔅}^{\prime }$ называются эквивалентными, если любой элемент $B\in 𝔅$ содержит в себе некоторый элемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$, и наоборот, любой элемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$ содержит в себе некоторый элемент $B\in 𝔅$.

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе $𝔅$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр $𝔉$. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве $X$ заданы два фильтра $𝔉$ и ${𝔉}^{\prime }$. Говорят, что фильтр ${𝔉}^{\prime }$ мажорирует фильтр $𝔉$ (${𝔉}^{\prime }$ сильнее $𝔉$, ${𝔉}^{\prime }$ тоньше $𝔉$), если ${𝔉}^{\prime }\supset 𝔉$. В этом случае также говорят, что фильтр $𝔉$ мажорируется фильтром ${𝔉}^{\prime }$ ($𝔉$ слабее ${𝔉}^{\prime }$, $𝔉$ грубее ${𝔉}^{\prime }$).

Говорят, что база ${𝔅}^{\prime }$ сильнее базы $𝔅$, и записывают ${𝔅}^{\prime }⩾𝔅$, если любой элемент $B\in 𝔅$ содержит в себе некоторый элемент $B^{\prime }\in {𝔅}^{\prime }$. База ${𝔅}^{\prime }$ сильнее базы $𝔅$ тогда и только тогда, когда фильтр ${𝔉}^{\prime }$, порожденный базой ${𝔅}^{\prime }$, сильнее фильтра $𝔉$, порожденного базой $𝔅$.

Базы $𝔅$ и ${𝔅}^{\prime }$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${𝔅}^{\prime }⩾𝔅$ и $𝔅⩾{𝔅}^{\prime }$.

Фильтры в топологических пространствах

Пусть $(X,𝒯)$ — топологическое пространство и $𝔉$ — фильтр на множестве $X$. Точка $a\in X$ называется пределом фильтра $𝔉$, если любая окрестность $V(a)$ точки $a$ принадлежит фильтру $𝔉$. Обозначение: $a\in lim𝔉$. Если $a$ является единственным пределом фильтра, то также пишут $a=lim𝔉$.

Для фильтра $𝔉$, порожденного базой $𝔅$, точка $a$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность $V(a)$ целиком содержит некоторое множество из $𝔅$.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка $a\in X$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра $𝔉$, если $a$ принадлежит замыканию любого множества из $𝔉$, то есть $a\in \bar{Y}$ для всех $Y\in 𝔉$. Равносильно, для любой окрестности $V(a)$ точки $a$ и для любого $Y\in 𝔉$ выполнено $V(a)\cap Y\ne \varnothing$. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если $X$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если $X$ — бесконечное множество мощности $𝔪$, то множество дополнений множеств мощности $<𝔪$ тоже является фильтром.

См. также

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация

Литература

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга