Обращение интеграла Лапласа

Пусть функция $F$ комплексного переменного $p=x+iy$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $F$ — аналитическая в области $\mathrm{R}\mathrm{e}p>a$
2. в области $\mathrm{R}\mathrm{e}p>a$ $F\to 0$ при $|p|\to +\mathrm{\infty }$ равномерно относительно $\arg p$
3. для всех $\mathrm{R}\mathrm{e}p>a$ сходится интеграл $\underset{x-i\mathrm{\infty }}{\overset{x+i\mathrm{\infty }}{\int }}|F(p)|dy$

Тогда функция $F$ при $\mathrm{R}\mathrm{e}p>a$ является изображением функции $f$ действительной переменной $t$, которую можно найти по формуле

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{x-i\mathrm{\infty }}{\overset{x+i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{pt}F(p)dp,x>a$

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина (названы в честь финского математика Ялмара Меллина). Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция $F$, заданная в области $\mathrm{R}\mathrm{e}p>a$, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек $p_1,p_2,\dots ,p_n$ и её аналитическое продолжение удовлетворяет при $\mathrm{R}\mathrm{e}p<a$ условиям леммы Жордана, то

$f(t)=\sum _{k=1}^n{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{p=p_k}(e^{pt}F(p))$

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения