Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты $E(n)=z^{-n}=r^{-n}{e}^{-i\omega n}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование $X(z)$ дискретного временного сигнала $x[n]$ задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

где $n$ — целое, $z$ — комплексное число.

$z=A{e}^{i\phi },$

где $A$ — амплитуда, а $\phi$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда $x[n]$ определена только для $n⩾0$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\underset{C}{\oint }X(z)z^{n-1}dz,$

где $C$ — контур, охватывающий область сходимости $X(z)$. Контур должен содержать все вычеты $X(z)$.

Положив в предыдущей формуле $z=r{e}^{j\phi }$, получим эквивалентное определение: $x[n]=\frac{r^n}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}X(r{e}^{j\phi })e^{jn\phi }d\phi .$

Область сходимости

Область сходимости $D$ представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

$D=\left\{z\right|\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\mathrm{\infty }\}.$

Пример 1 (без области сходимости)

Пусть $x[n]=0,5^n$. Раскрывая $x[n]$ на интервале $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, получаем

$x[n]=\{\dots ;0,5^{-3};0,5^{-2};0,5^{-1};1;0,5;0,5^2;0,5^3;\dots \}=\{\dots ;2^3;2^2;2;1;0,5;0,5^2;0,5^3;\dots \}.$

Смотрим на сумму:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}=\mathrm{\infty }.$

Поэтому, не существует таких значений $z$, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Связь с преобразованием Лапласа

Шаблон:Основная статья Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом $T,$ представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

$s=\frac{2}{T}\frac{(z-1)}{(z+1)}.$

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

$z=\frac{2+sT}{2-sT}.$

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость $s=\sigma +j\omega$ преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось $j\omega$ s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной $j\omega$, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось $j\omega$ находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Таблица некоторых Z-преобразований

Обозначения:

• $\theta [n]=\{\begin{array}{c}1,n⩾0\\ 0,n<0\end{array}$ — функция Хевисайда.
• $\delta [n]=1$ для $n=0$, и $\delta [n]=0$ для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).

	Сигнал, $x[n]$	Z-преобразование, $X(z)$	Область сходимости
1	$\delta [n]$	$1$	$\mathrm{\forall }z$
2	$\delta [n-n_0]$	$\frac{1}{z^{n_0}}$	$z\ne 0$
3	$\theta [n]$	$\frac{z}{z-1}$	$|z|>1$
4	$a^n\theta [n]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|>|a|$
5	$n{a}^n\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|>|a|$
6	$-a^n\theta [-n-1]$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$|z|<|a|$
7	$-n{a}^n\theta [-n-1]$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$|z|<|a|$
8	$\cos ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-z^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
9	$\sin ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{z^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2z^{-1}\cos ({\omega }_0)+z^{-2}}$	$|z|>1$
10	$a^n\cos ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$
11	$a^n\sin ({\omega }_{0}n)\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-1}\sin ({\omega }_0)}{1-2a{z}^{-1}\cos ({\omega }_0)+a^2{z}^{-2}}$	$|z|>|a|$

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.