Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислить число состояний частицы в единичном энергетическом интервале, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (пространство волновых векторов, оно же $k$-пространство). «Расстояние» по $k$ между состояниями определяется граничными условиями.

Для свободных электронов и фотонов в области $0<x<L$ или для электронов в кристаллической решётке с параметром решётки $L$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: $\psi (x)=\psi (x+L)$. В таком случае $\psi (x)=\text{const}\cdot e^{i{k}_{x}x}$ и для возможных значений $x$-компоненты волнового вектора $k_x$ получается соотношение $2\pi N=k_{x}L$, где $N$ — любое целое число. Расстояние между соседними (то есть $N$-м и $N$$+1$ -м) состояниями будет

$\mathrm{\Delta }{k}_x=\frac{2\pi }{L}$.

Аналогичные выражения можно записать и для других декартовых координат ($y$, $z$). Набор доступных состояний представляет собой бесконечный массив точек по нескольким (скольким именно — зависит от размерности) «направлениям» $k$-пространства.

Количество состояний $G(k)$, доступных для частицы с модулем волнового вектора меньше заданного значения $k$, равно объёму «$n$-мерного шара радиусом $k$», делённому на объём, приходящийся на одно состояние:

$G(k)=\frac{{\nu }_s}{{\left(\mathrm{\Delta }k\right)}^n}\underset{0}{\overset{k}{\int }}{d}^n𝐤$,

где ${\nu }_s$ — вырождение уровня (обычно спиновое вырождение, равное 2). Под $(\mathrm{\Delta }k{)}^n$ понимается произведение $1\cdot \mathrm{\Delta }{k}_x\cdot \mathrm{\Delta }{k}_y\dots$, в котором число сомножителей определяется размерностью. Для трехмерной (3D) ситуации интеграл равен $4/3\cdot \pi k^3$, а $(\mathrm{\Delta }k{)}^n=(2\pi {)}^3/L^3$.

Чтобы найти плотность состояний в $k$-пространстве, выражение для $G(k)$ нужно продифференцировать:

$g(k)=\frac{dG(k)}{dk}$.

Для перехода к плотности состояний по энергии необходимо знать закон дисперсии для частицы, то есть уметь выразить $k$ и $dk$ в терминах $E$ и $dE$. Тогда

$D(E)=\frac{1}{V}\cdot g(k(E))\frac{dk}{dE}$.

Скажем, для свободного электрона $E={\hslash }^2{k}^2/2m$, $dE={\hslash }^{2}kdk/m$, где $m$ — масса, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, $V$ (м³) — объём. С небольшими изменениями выражения применимы и при неодинаковости массы или размеров $L$ по разным направлениям. Результаты для $D$ приведены в таблице следующего раздела.

Для плотности состояний также существует формальное соотношение иного вида — через дельта-функцию:

$D(E)=\frac{1}{V}\sum _s\delta (E-E_s)$,

где индекс $s$ отвечает некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра. При замене суммирования интегрированием по фазовому пространству используется правило

$\sum _s\to \int \frac{d^{n}k{d}^{n}q}{(2\pi {)}^n}$,

где $q$ — пространственные координаты.

Примеры

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

	Объём $\underset{0}{\overset{k}{\int }}{d}^n𝐤$	Объём для одного состояния $(\mathrm{\Delta }k{)}^n$	Плотность состояний $D(E)$
$3D$	$\frac{4}{3}\pi k^3$	$\frac{(2\pi {)}^3}{L_x{L}_y{L}_z}$	$\frac{\sqrt{2m^3}}{{\pi }^2{\hslash }^3}\sqrt{E}$
$2D$	$\pi k^2$	$\frac{(2\pi {)}^2}{L_x{L}_y}$	$\frac{m}{\pi {\hslash }^2{L}_z}\sum _l\mathrm{\Theta }(E-E_l)$
$1D$	$2k$	$\frac{2\pi }{L_x}$	$\frac{\sqrt{2m}}{\pi \hslash L_y{L}_z}\sum _l\frac{1}{\sqrt{E-E_l}}$
$0D$	1	1	$\frac{2}{L_x{L}_y{L}_z}\sum _l\delta (E-E_l)$

где $l$ — индекс подзоны размерного квантования, $\mathrm{\Theta }$ — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для $D(E)$, приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж⁻¹м⁻³ и структуру «некое выражение $\rho (E)$, делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все $L$), то останется $\rho (E)$ с размерностью [$\rho$] = Дж⁻¹м⁻², Дж⁻¹м⁻¹ и Дж⁻¹, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только $D(E)$, но и $\rho (E)$.

Использование

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

$n=\underset{E_c}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (E)F(E)dE,p=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{E_v}{\int }}\rho (E)(1-F(E))dE$,

где $F$ — функция Ферми, $E_c$ ($E_v$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве $\rho$ здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: ${\rho }_{3D}$ для толщи материала (и тогда концентрации будут в м⁻³), ${\rho }_{2D}$ для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м⁻²), ${\rho }_{1D}$ для квантовой проволоки (концентрацию получим в м⁻¹) или ${\rho }_{0D}$ (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Шаблон:Wayback