Статистика Ферми — Дирака

Шаблон:Другие значения Шаблон:Физическая теория Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц $n_i$ с энергией ${\epsilon }_i$ есть

$n_i=\frac{g_i}{\exp \left(\frac{{\epsilon }_i-\mu }{kT}\right)+1}$,

где $g_i$ — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ${\epsilon }_i$), $\mu$ — химический потенциал, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах $\mu$ равен энергии Ферми $E_F$. В этом случае, если $g_i=1$, выражение для числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

$F(\epsilon ,T)=\frac{1}{\exp \left(\frac{\epsilon -E_F}{kT}\right)+1}.$

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше $\mu$ растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
• убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
• при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при $\epsilon =\mu$, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
• при $\epsilon =\mu$ всегда $F=1/2$ независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака $F(\epsilon ,T)$ задаются числа заполнения (Шаблон:Lang-en) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция $F(\epsilon ,T)$ ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$ и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» $\rho (\epsilon )$ (Дж⁻¹ или Дж⁻¹м⁻³). Функция

$f(\epsilon )={(\int \rho (\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon )}^{-1}\rho (\epsilon )F(\epsilon )$

является плотностью распределения (Дж⁻¹) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент $T$ опущен. В наиболее традиционных случаях $\rho (\epsilon )\sim \sqrt{\epsilon }$.

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

$F(\epsilon )=\exp \left(\frac{E_F-\epsilon }{kT}\right)$.

После подстановки плотности состояний $\rho (\epsilon )$ и интегрирования по $\epsilon$ от 0 до $+\mathrm{\infty }$ выражение для $f$ примет вид

$f(\epsilon )=\frac{2\pi \sqrt{\epsilon }}{\sqrt{(\pi kT{)}^3}}\exp (-\frac{\epsilon }{kT})$.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица $A$ в состоянии 1 и частица $B$ в состоянии 2» и «частица $B$ в состоянии 1 и частица $A$ в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Сферы использования

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц $N/V⩾n_q$ (где $N$ — число частиц, $V$ — объём, $n_q$ — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

$n=\underset{E_c}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon ,p=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{E_v}{\int }}\rho (\epsilon )(1-F(\epsilon ))d\epsilon$,

где $E_c$ ($E_v$) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

$j=\text{const}\cdot \int \mathrm{\Theta }(\epsilon )[F_L(\epsilon )-F_R(\epsilon )]d\epsilon$,

где $\mathrm{\Theta }$ — коэффициент прозрачности барьера, а $F_L$, $F_R$ — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из фермионов, находящихся на одном квантовом уровне. С учётом общих свойств фермионов как типа частиц, возможны лишь два варианта: наличие ровно одной частицы на обсуждаемом уровне или незанятость уровня.

Варианты различаются числом частиц — и поэтому для описания вероятностей $P_{yes}$, $P_{no}$ их реализации нужно привлечь распределение Гиббса с переменным числом частиц:

$P_{yes|no}=A\cdot \exp (-\frac{E_{yes|no}-\mu N_{yes|no}}{kT})$,

где $N$ — число частиц, равное 1 в состоянии yes и 0 в состоянии no, а энергия состояния $E$ равна энергии уровня ${\epsilon }_i$ при наличии (yes) и 0 при отсутствии (no) фермиона; $A$ — нормировочный множитель, подбираемый так, чтобы оказалось $P_{yes}+P_{no}=1$.

Следовательно,

$P_{yes}=\frac{P_{yes}}{P_{yes}+P_{no}}={(1+\exp \frac{{\epsilon }_i-\mu }{kT})}^{-1}$.

Смысл этого результата как раз и состоит в том, что рассматриваемый уровень заполнен с вероятностью (то есть «на долю») $P_{yes}$. Выражение $P_{yes}$ переобозначается как $n_i$, что и соответствует статистике Ферми — Дирака. При наличии вырождения оно домножается на фактор вырождения $g_i$, как констатировалось в преамбуле.

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру $T$ ниже температуры Ферми $T_F=E_F/k$, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация $\mu \approx E_F$. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция $\mu$ представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения $T/T_F<1$:

$\mu =E_F\sum _{n=0,1,2\dots }[(-1{)}^n\frac{{\pi }^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^{2n}]=E_F[1-\frac{{\pi }^2}{12}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^2+\frac{{\pi }^4}{80}{\left(\frac{kT}{E_F}\right)}^4+\dots ]$.

Отклонения при нарушении равновесия

Числа заполнения состояний, диктуемые формулой Ферми — Дирака, изменяются при отклонении системы от равновесия. Подобное отклонение возникает, в частности, при наложении электрического поля. Тем не менее некоторые из приведённых выше выражений, например для концентраций электронов и дырок $n$, $p$ или для туннельного тока, при этом сохраняют свою структуру, только функция $F(\epsilon )$ становится иной.

Искажения $F(\epsilon )$ в значительной доле случаев таковы, как если бы температура равнялась не $T$, а некоему эффективному более высокому значению $T_{eff}$, из-за чего говорят о горячих носителях заряда. При радикальных отклонениях от равновесия (например, в очень сильных полях, около $\sim 10^6$ В/см и выше) аналитический вид $F(\epsilon )$ модифицируется более радикально, при этом резко возрастают числа заполнения (населённость) высокоэнергетичных состояний, а кривая $F(\epsilon )$ деформируется. Такого рода ситуации возникают в полупроводниковых приборах в режимах близких к пробойным.

См. также

• Закон Видемана — Франца
• Интеграл Ферми — Дирака
• Распределение Максвелла
• Статистика Бозе — Эйнштейна