Волна де Бройля

Шаблон:Физическая теория Волна́ де Бро́йля — волна вероятности (или волна амплитуды вероятностиШаблон:Sfn), определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданном интервале конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну, по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с $\hslash$ (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме $c$, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к $c$, — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом $p$. Все частицы, имеющие конечный импульс $p$, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции.

Природа волн де Бройля

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Файл:Nicaragua 1971 Mi 1621 stamp and back (The Ten Mathematical Equations that Changed the Face of the Earth. Boltzman's equation - movement of gases).jpg

Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Закон де Бройля (движение частиц вещества)

Формулы де Бройля

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны $\lambda$, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса $p$ частицы, а полной энергии $E$ — от частоты $\nu$, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

$\lambda =\frac{h}{p},$

$E=h\nu ,$

где $h$ — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

$𝐩=\frac{h}{2\pi }𝐤=\hslash 𝐤,$

$E=\hslash \omega ,$

где $𝐤=\frac{2\pi }{\lambda }𝐧$ — волновой вектор, модуль которого $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на $2\pi$ единицах длины, $\omega =2\pi \nu$ — циклическая частота, $𝐧$ — единичный вектор в направлении распространения волны, $\hslash =\frac{h}{2\pi }\approx 1,05\cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Полная энергия $E=E_K+m_0{c}^2$ включает кинетическую энергию $E_K$ и энергию покоя $E_0=m_0{c}^2$, в терминах которых

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{hc}{\sqrt{[E_K(E_K+2m_0{c}^2)]}},$

где $hc$ = 1240 эВ×нм, и значения $m_0{c}^2$ равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, $m_e{c}^2=$511 кэВ для электрона, и $m_p{c}^2=$938 МэВ для протона.

Нерелятивистский предел

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущихся со скоростью $v\ll c$ (скорости света), для импульса справедлива формула $p=mv$ (где $m$ — масса покоя частицы), для кинетической энергии $W=E-m{c}^2$ — формула $W=\frac{m{v}^2}{2}$. Тогда длина волны де Бройля

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2mW}}.$

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов $\mathrm{\Delta }\phi$ (в вольтах),

$\lambda =\frac{12,25}{\sqrt{\mathrm{\Delta }\phi }}\AA .$

Ультрарелятивистский предел

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, $v\to c,E\gg m{c}^2$, длины волны равна $\lambda =\frac{hc}{E}$.

Формулы де Бройля для 4-векторов

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса $p^{\mu }$ с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид:

$p^{\mu }=\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{E}{c}\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)=\hslash \left(\begin{array}{c}\frac{\omega }{c}\\ k_x\\ k_y\\ k_z\end{array}\right).$

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

$\frac{E^2}{c^2}=m^2{c}^2+p_x^2+p_y^2+p_z^2.$

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор:

$\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}+k_x^2+k_y^2+k_z^2,$

где $\frac{mc}{\hslash }$ — комптоновское волновое число, обратное приведенной комптоновской длине волны $\frac{{\lambda }_C}{2\pi }.$

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

$v_f=\frac{\omega }{k}=\frac{E}{p}=\frac{m{c}^2}{mv}=\frac{c^2}{v}\simeq \frac{c^2}{h}m\lambda =\frac{c^2{p}^2}{2Wh}\lambda .$

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость $v_f$ волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля $u$ равна скорости частицы $v$:

$u=\frac{d\omega }{dk}=\frac{dE}{dp}=v$.

Иллюстрация

Иллюстрация волны де Бройля

Для частицы массой $m$, покоящейся в инерциальной системе отсчёта $x^{\prime },c{t}^{\prime }$ псевдоевклидовой плоскости 4-пространства Минковского, движущейся со скоростью $V$ относительно условно неподвижной системы $x,ct$ вдоль положительного направления оси $x$, формула квантовомеханической амплитуды вероятности обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:

$a{e}^{(-i{\omega }_0)t^{\prime }}$,

где: ${\omega }_0=\frac{E_0}{\hslash }=\frac{m{c}^2}{\hslash }=\frac{2\pi \cdot c}{{\lambda }_C}$;

Здесь: ${\omega }_0$ — частота изменения фазы;

$E_0$ — энергия покоящейся частицы;

$\hslash =\frac{h}{2\pi }$ — приведённая постоянная Планка:

$c$ — скорость света;

${\lambda }_C=\frac{h}{mc}$ — комптоновская длина волны покоящейся частицы массой $m$.

На рисунке обозначено: ${\lambda }_C=O^{\prime }{A}_1$. Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси $x^{\prime }$. Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией

${\psi }_{(x^{\prime },t^{\prime })}=a{e}^{(-i{\omega }_0)t^{\prime }}=a{e}^{(-i/\hslash )E_0{t}^{\prime }}$;

На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки $A_1$ и $A_2$, в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке $O^{\prime }$, принятой за начальное. Для нештрихованной системы отсчёта $x,ct$ фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства.

Линии равных фаз системы $x^{\prime },c{t}^{\prime }$ пересекают как временную, так и пространственную оси системы $x,ct$, разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.

Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках $C_1$ и $B_1$ фаза отличается на целое число $2\pi$ относительно фазы в точке $O^{\prime }$, то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число $2\pi$. Отсюда следует, что отрезки по осям $ct$ и $x$ представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.

Согласно релятивистской концепции, применяя преобразования Лоренца, из рисунка следует:

$O{C}_1=O^{\prime }{A}_1\sqrt{1-(V/c{)}^2}=cT={\lambda }_C\sqrt{1-(V/c{)}^2}$,

где: $T$ — период изменения фазы в нештрихованной системе. Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:

$E=\hslash \omega$,

где: $\omega$ — круговая частота изменения фазы в системе $x,ct$;

$E=m{c}^2/\sqrt{1-(v/c{)}^2}$ — полная энергия частицы в системе отсчета $x,ct$;

Здесь учтено, что скорость частицы $v$ равна скорости $V$ перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.

Из треугольника $O{B}_1{C}_1$, принимая во внимание, что $\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\alpha }=\frac{V}{c}$ и учитывая, что $v=V$, получим:

$B_{1}O=\frac{{\lambda }_C\sqrt{1-(v/c{)}^2}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{\alpha }}=\frac{h}{p}=\lambda$,

где: $\lambda$ — длина волны де Бройля;

$p$ — импульс частицы.

Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе $x,ct$ можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:

$t^{\prime }=\frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}}$;

Заменив $t^{\prime }$ на $t$ в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:

$a{e}^{(-i/\hslash )E_0{t}^{\prime }}=a{e}^{-(i/\hslash )[(E_{0}t/\sqrt{1-(V/c{)}^2})-(E_{0}Vx/c^2\sqrt{1-(V/c{)}^2})]}$;

Отождествляя полную энергию частицы $E=E_0/\sqrt{1-(v/c{)}^2}$ и её импульс $p=E_{0}v/c^2\sqrt{1-(v/c^2}$ с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что $v=V$, формула амплитуды волны де Бройля запишется так:

$a{e}^{-(i/\hslash )[Et-px]}$;

Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки $B_1$ в точку $C_1$) определяется непосредственно из треугольника $O{B}_1{C}_1$:

$v_f=\frac{c^2}{v}$;

Монохроматическая волна де Бройля характеризуется соотношениями $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\infty }$ и $\mathrm{\Delta }p=0$. То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации. Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.

Явление корпускулярно-волнового дуализма присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой $m=10^{-5}$ г, движущейся со скоростью $v=1$ м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны $\lambda =6,6\cdot 10^{-22}$ см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.

Зависимость длины волны от скорости частицы

Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.

При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала $O^{\prime }$, поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы. Точка $A_1$ (Рисунок 1) пересечения временной оси $c{t}^{\prime }$ с инвариантной (единичной) гиперболой ${\lambda }_C^2=c^2{t}^2-x^2$, которая определяет длину ${\lambda }_C$ в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей $x$ и $ct$. При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка $B_1$ пересечения этой линии с осью $x$ устремляется к началу O. То есть, при $v=V\to c$ длина волны $\lambda \to 0$, а импульс частицы $p=mv/\sqrt{1-(v/c{)}^2}\to \mathrm{\infty }$.

При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол $\alpha$ наклона оси $c{t}^{\prime }$ к оси $ct$ и оси $x^{\prime }$ к оси $x$ стремится к нулю. Точка $A_1$ пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке $A$. При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку $A_1$, стремится к параллельности с осью $x$, а точка $B_1$ пересечения этой линии с осью $x$ устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси $x$. Это означает, что при $v=V\to 0$ длина волны $\lambda \to \mathrm{\infty }$, а импульс частицы $p\to 0$. В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны ${\lambda }_C=OA$.

Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов $(0\cdot \mathrm{\infty })$ и $(\mathrm{\infty }\cdot 0)$ можно утверждать: $\lambda \cdot p=const$, что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: $\lambda =\frac{h}{p}$.

Экспериментальная проверка

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики:

• Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
• Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
• Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
• Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также

• Волновой пакет
• Комптоновская длина волны
• Ток вероятности

Литература

• Шаблон:Книга
• www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.

Ссылки

• Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
• Соотношение де Бройля // «Элементы»