Комптоновская длина волны

Ко́мптоновская длина́ волны́ (Шаблон:Math) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом.

Вычисление

Из опыта Комптона следует:

${\lambda }_C=\frac{h}{mc}$;

Здесь: $mc$ — величина 4-вектора энергии-импульса покоящейся частицы.

Для электрона, Шаблон:Math ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)Шаблон:E м; для протона, Шаблон:Math ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)Шаблон:E м.

Длина волны ${\lambda }_C$ для покоящейся частицы массы $m$ определяет период вращения амплитуды вероятности, квадрат которой является вероятностью того, что частица переместится из одной точки 4-пространства-времени в другую. Для покоящейся частицы это перемещение происходит только во времени, но не в пространстве. Следовательно можно написать цепочку равенств:

${\lambda }_C=c{T}_0=c\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{h}{mc}$;

здесь: ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T_0}$ — частота вращения амплитуды вероятности.

Из последних двух равенств вытекает:

$E_0=m{c}^2=\hslash {\omega }_0,$

где $E_0$ — энергия покоящейся частицы;

$\hslash =\frac{h}{2\pi }$;

Приведённая комптоновская длина волны

В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2Шаблон:Math раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:

${\bar{\lambda }}_C=\frac{{\lambda }_C}{2\pi }=\frac{\hslash }{mc}.$

Для электрона, Шаблон:Math ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)Шаблон:E м, для протона, Шаблон:Math ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)Шаблон:E м.

В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:

• пи-мезона: Шаблон:Math ≈ 1,46Шаблон:E м (характерное расстояние ядерных взаимодействий);
• W-бозона: Шаблон:Math ≈ 2,45Шаблон:E м (характерное расстояние слабых взаимодействий).

Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi ={\left(\frac{mc}{\hslash }\right)}^2\psi .$

Эта величина в квадрате выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:

$i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi =\left(\frac{mc}{\hslash }\right)\psi .$

Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Шаблон:Math

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Z{e}^2}{r}\psi$

можно разделить на $\hslash c$ и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд Шаблон:Math на постоянную тонкой структуры Шаблон:Math:

$\frac{i}{c}\frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{1}{2}\left(\frac{\hslash }{m_{e}c}\right){\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{\alpha Z}{r}\psi .$

В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.

В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: Шаблон:Math.

Происхождение названия

Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина Шаблон:Math определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.

В квантовой теории поля

Частица, локализованная в области с линейными размерами не более Шаблон:Math, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее Шаблон:Math и неопределённость в энергии не менее Шаблон:Math, что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой Шаблон:Math. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших Шаблон:Math, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра Шаблон:Math, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время Шаблон:Math, характерное для рассеяния света с длиной волны Шаблон:Math, при Шаблон:Math приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.

В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона Шаблон:Math, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона Шаблон:Math (заметим, что Шаблон:Math ≈ 7Шаблон:Math). В области с линейным размером порядка Шаблон:Math нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.

Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующей комптоновской длиной волны, но и константами взаимодействия этой частицы с другими частицами (полями).

См. также

• Волны де Бройля
• Потенциал Юкавы
• Уравнение Клейна — Гордона
• Уравнение Дирака
• Эффект Комптона