Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{T}^{00}& T^{01}& T^{02}& T^{03}\\ T^{10}& T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{20}& T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{30}& T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира.
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

$T^{ik}=\left(\begin{array}{ccc}{T}^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right)$

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻² (как у давления или плотности энергии).

Частные случаи

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\rho c^2,p,p,p)$, где $\rho$ есть плотность массы, а $p$ — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

$T^{ik}=\rho u^i{u}^k$

где $\rho$ — плотность массы (покоя), $u^i,u^k$ — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо ещё суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${ℒ}_{\mathrm{M}}={ℒ}_{\mathrm{M}}({\varphi }_i,{\partial }_{\mu }{\varphi }_i)$, зависящего от полевых функций ${\varphi }_i$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\ {\varphi }_i(x)\to {\varphi }_i^{\prime }(x^{\prime })={\varphi }_i(x).\end{array}$

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

${{T_c}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_i)}{\partial }_{\nu }{\varphi }_i-{ℒ}_{\mathrm{M}}{\delta }_{\nu }^{\mu },$

который имеет вид

${\partial }_{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\mu }^{\mu }=0.$

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

$T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^n\frac{\partial {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\partial ({\partial }_{\mu }{\varphi }_i)}{\partial }^{\nu }{\varphi }_i-{ℒ}_{\mathrm{M}}{g}^{\mu \nu }.$

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора $T^{\mu \nu }$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины $\frac{\partial {\psi }^{\mu \nu \lambda }}{\partial x^{\lambda }},$ где тензор ${\psi }^{\mu \nu \lambda }$ антисимметричен по двум последним индексам ${\psi }^{\mu \nu \lambda }=-{\psi }^{\mu \lambda \nu }$. Действительно, для симметризованного ТЭИ

${\mathrm{\Theta }}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\partial }_{\lambda }{\psi }^{\mu \nu \lambda }$

автоматически следует закон сохранения ${\partial }_{\nu }{\mathrm{\Theta }}^{\mu \nu }=0.$

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ $T^{\mu \nu }(x)$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору $g_{\mu \nu }$ в точке $x$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${T_m}^{\mu \nu }(x)=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g_{\mu \nu }(x)}=g^{\mu \nu }{ℒ}_{\mathrm{M}}-2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g_{\mu \nu }}=$

$=\frac{2}{\sqrt{-g}}(\frac{\partial (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\partial g_{\mu \nu }(x)}-\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}\frac{\partial (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\partial \frac{\partial g_{\mu \nu }(x)}{\partial x^{\lambda }}}+\dots ),$

где $g(x)=\det (g_{\mu \nu }(x)).$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

$\frac{c^4}{8\pi G}(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu })=T_{\mu \nu }(x),$

где $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

$T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0.$

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

Шаблон:Основная статья В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

$T_{00}=\frac{𝐄\cdot 𝐃}{2}+\frac{𝐁\cdot 𝐇}{2}$

$\left(\begin{array}{ccc}{T}_{01}& T_{02}& T_{03}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{10}& T_{20}& T_{30}\end{array}\right)=\frac{1}{c}[𝐄\times 𝐇]$

$T_{ij}=E_i{D}_j+B_i{H}_j-\frac{1}{2}{\delta }_{ij}(𝐄\cdot 𝐃+𝐁\cdot 𝐇)=E_i{D}_j+B_i{H}_j-{\delta }_{ij}{T}_{00}.$

Пространственные компоненты $T_{ij}$ образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений или тензором натяжений Максвелла.

В ковариантной форме можно записать:

$T^{\mu \nu }=-\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}_{\alpha }{}^{\nu }+\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

См. также

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна

Литература

• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.