Эрмитов оператор

В математике оператор $A$ в комплексном или действительном гильбертовом пространстве $ℌ$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству $(Ax,y)=(x,Ay)$ для всех $x,y$ из области определения $A$. Здесь и далее полагается, что $(x,y)$ — скалярное произведение в $ℌ$. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в $ℌ$ называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пространстве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Шаблон:Hider4. Для эрмитова оператора А определитель det ||A|| его матрицы равен произведению собственных значений.

Матрицы

Шаблон:Main Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу $A^{†},$ получаемую из исходной матрицы $A$ путём её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть $(A^{†}{)}_{ij}=A_{ji}^{*}$. Это естественное определение: если записать линейное отображение и эрмитово сопряжённый ему оператор в любом базисе в виде матриц, то их матрицы будут эрмитово сопряжёнными. Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: для неё $A^{†}=A$.

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

• Сопряжённый оператор
• Самосопряжённость