Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование ${\phi }^{*}$ называется сопряжённым линейному преобразованию $\phi$, если для любых векторов $x$ и $y$ выполнено равенство $(\phi \left(x\right),y)=(x,{\phi }^{*}\left(y\right))$. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой $A^{*}={\mathrm{\Gamma }}^{-1}{A}^T\mathrm{\Gamma }$, если пространство евклидово, и формулой $A^{*}=\overline{{\mathrm{\Gamma }}^{-1}{A}^T\mathrm{\Gamma }}$ в унитарном пространстве. $\mathrm{\Gamma }$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид $A^{*}=A^T$ и $A^{*}={\overline{A}}^T$ соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть $E,L$ — линейные пространства, а $E^{*},L^{*}$ — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на $E,L$). Тогда для любого линейного оператора $A:E\to L$ и любого линейного функционала $g\in L^{*}$ определён линейный функционал $f\in E^{*}$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Отображение $g\mapsto f$ называется сопряжённым линейным оператором и обозначается $A^{*}:L^{*}\to E^{*}$.

Если кратко, то $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$, где $(B,x)$ — действие функционала $B$ на вектор $x$.

Топологическое линейное пространство

Пусть $E,L$ — топологические линейные пространства, а $E^{*},L^{*}$ — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на $E,L$). Для любого непрерывного линейного оператора $A:E\to L$ и любого непрерывного линейного функционала $g\in L^{*}$ определён непрерывный линейный функционал $f\in E^{*}$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Нетрудно проверить, что отображение $g\mapsto f$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также $A^{*}:L^{*}\to E^{*}$.

Банахово пространство

Пусть $A:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$ и пусть $X^{*},Y^{*}$ — сопряжённые пространства. Обозначим $\mathrm{\forall }x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$. Если $f$ — фиксировано, то $[Ax,f]$ — линейный непрерывный функционал в $X,[Ax,f]\in X^{*}$. Таким образом, для $\mathrm{\forall }f\in Y^{*}$ определён линейный непрерывный функционал из $X^{*}$, поэтому определён оператор $A^{*}:Y^{*}\to X^{*}$, такой что $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$.

$A^{*}$ называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для $A^{*}$ справедливы следующие свойства:

• Оператор $A^{*}$ — линейный.
• Если $A$ — линейный непрерывный оператор, то $A^{*}$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть $O$ — нулевой оператор, а $E$ — единичный оператор. Тогда $O^{*}=O,E^{*}=E$.
• $(A+B{)}^{*}=A^{*}+B^{*}$.
• $\mathrm{\forall }\alpha \in ℂ,(\alpha A{)}^{*}=\overline{\alpha }{A}^{*}$.
• $(AB{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$.
• $(A^{-1}{)}^{*}=(A^{*}{)}^{-1}$.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве $H$ теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора $A:H\to H$ равенство $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ определяет сопряжённый оператор $A^{*}:H\to H$. Здесь $(x,y)$ — скалярное произведение в пространстве $H$.

См. также

• Эрмитов оператор

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.