Обратный оператор

Если A отображает X на Y, то A⁻¹ отображает Y на X

Обратный оператор к оператору $A$ — оператор, который каждому $y$ из множества значений $\text{Im}A$ оператора $A$ ставит в соответствие единственный элемент $x$ из области определения $𝒟(A)$ оператора $A$, являющийся решением уравнения $Ax=y$. Если оператор $A$ имеет обратный, то есть уравнение $Ax=y$ имеет единственное решение при любом $y$ из $\text{Im}A$, то $A$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается $A^{-1}$Шаблон:Sfn.

Определение и условия существования

Другое определение: оператор $B$ называется обратным к оператору $A$, если $BA=I,AB=I$, где $I$ — единичный оператор. Если выполняется только соотношение $BA=I$ или только $AB=I,$ то оператор $B$ называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор $A$ имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор $A$ является обратимымШаблон:Sfn. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образомШаблон:Sfn.

Оператор $A$ обратим, если он отображает $𝒟(A)$ на $\text{Im}A$ взаимно однозначно, то есть при различных $x\in 𝒟(A)$ принимает различные значения $y$.Шаблон:Sfn Если оператор $A$ — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы $Ax=0$ выполнялось только при $x=0$Шаблон:Sfn.

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве ${\ell }_2$ линейный оператор

$A(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: $x_1=0$Шаблон:Sfn.

Свойства

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A.$Шаблон:Sfn
• $(A_1{A}_2{)}^{-1}=A_2^{-1}{A}_1^{-1}.$Шаблон:Sfn
• Оператор $A^{-1}$, обратный к линейному оператору, также линеен.Шаблон:Sfn
• $(A^{-1}{)}^{*}=(A^{*}{)}^{-1}$, $A^{*}$ — сопряжённый операторШаблон:Sfn.

Теоремы об обратном операторе

Теорема Банаха

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Пусть $A$ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство $E$ на банахово пространство $E_1$. Тогда обратный оператор $A^{-1}$ ограничен. Шаблон:Конец рамки

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на (всё) банахово пространство $E_1$ открытоШаблон:Sfn.

Достаточные условия существования обратного оператора

• Пусть линейный оператор $A$, отображающий линейное нормированное пространство $E$ на линейное нормированное пространство $E_1$, удовлетворяет для любого $x\in E$ условию

$\Vert Ax\Vert \ge m\Vert x\Vert ,$

где $m>0$ — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор $A^{-1}$Шаблон:Sfn.

• Пусть $A$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства $E$ в банахово пространство $E_1$ и $\mathrm{\Delta }A$ — линейный ограниченный оператор из $E$ в $E_1$ такой, что $\Vert \mathrm{\Delta }A\Vert <1/\Vert A^{-1}\Vert$. Тогда оператор $B=A+\mathrm{\Delta }A$ имеет ограниченный обратный, причём

$\Vert B^{-1}-A^{-1}\Vert \le \frac{\Vert \mathrm{\Delta }A\Vert }{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \mathrm{\Delta }A\Vert }\Vert A^{-1}{\Vert }^2$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Пусть $E$ — банахово пространство, $I$ — тождественный оператор в $E$, а $A$ — такой линейный ограниченный оператор, отображающий $E$ в себя, что $\Vert A\Vert <1$. Тогда оператор $(I-A{)}^{-1}$ существует, ограничен и представляется в виде ряда

$(I-A{)}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{A}^k$Шаблон:Sfn.

Примеры

Преобразование Фурье

$g(\lambda )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\lambda t}dt$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства $L_2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda$Шаблон:Sfn.

Операторы интегрирования и дифференцирования

Для оператора интегрирования

$Ax=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(\tau )d\tau ,$

действующего в пространстве непрерывных функций $C[0,1]$, обратным будет оператор дифференцирования:

$A^{-1}y=\frac{d}{dt}y(t),$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что $y(0)=0$Шаблон:Sfn.

Оператор Штурма-Лиувилля

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля $Ax=\frac{d}{dt}\{p(t)\frac{dx}{dt}\}+q(t)x,$ определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что $x(0)=x(1)=0$, обратным оператором является интегральный оператор

$A^{-1}y=\underset{0}{\overset{1}{\int }}G(t,\tau )y(\tau )d\tau ,$

где $G(t,\tau )$ — функция Грина. $A^{-1}$ — линейный ограниченный оператор в $C[0,1]$Шаблон:Sfn.

Интегральный оператор

Пусть

$Ax=\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,s)x(s)ds$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций $C[0,1]$. При достаточно малых значениях параметра $\lambda$ оператор $(I-\lambda A)$ (где $I$ — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

$(I-\lambda A{)}^{-1}y=y(t)+\lambda \underset{0}{\overset{1}{\int }}R(t,s,\lambda )y(s)ds$,

где $R(t,s,\lambda )$ — резольвента ядра $K(t,s)$. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

$x(t)=y(t)+\lambda \underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,s)x(s)ds$

при любом свободном члене $y(t)$Шаблон:Sfn.

Обратный оператор в конечномерном пространстве

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица.

См. также

• Линейное отображение
• Обратная функция
• Изоморфизм
• Банахово пространство
• Линейный непрерывный оператор

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия