Резольвента интегрального уравнения

Шаблон:Другие значения Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

$f(s)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)\phi (t)dt=\phi (s).(*)$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция $\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )$ переменных $s$, $t$ и параметра $\lambda$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

$u^{*}(s)=f(s)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )f(t)dt.$

При этом $\lambda$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро $K(s,t)=s+t$, то есть само уравнение имеет вид:

$\phi (s)+\lambda \underset{0}{\overset{1}{\int }}(s+t)\phi (t)dt=f(s).$

Тогда его резольвентой является функция

$\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )=\frac{s+t+\lambda (\frac{s+t}{2}+st+\frac{1}{3})}{1+\lambda -\frac{{\lambda }^2}{12}}.$

Резольвента линейного оператора

Пусть $A$ — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция

$R(z)=(A-zE{)}^{-1}$,

где $E$ — тождественный оператор, а $z$ — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что $R(z)$ есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

См. также

• Спектр оператора