Интегральное уравнение Фредгольма

Интегральное уравнение Фре́дгольма — интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо по имени шведского математика Ивара Фредгольма. Со временем исследование уравнения Фредгольма выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теория

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

$\psi (s)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)\phi (t)dt$

где функция $K$ называется ядром уравнения, а оператор $A$, определяемый как

$A\phi =\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)\phi (t)dt$, называется оператором (или интегралом) Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

$g(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)f(s)ds$

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра $K(t,s)$ и функции $g(t)$ найти функцию $f(s)$.

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть $K(t,s)=K(t-s)$, и пределы интегрирования $\pm \mathrm{\infty }$, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций $K$ и $f$, а, следовательно, решение даётся формулой

$f(t)={ℱ}_{\omega }^{-1}\left[\frac{{ℱ}_t[g(t)](\omega )}{{ℱ}_t[K(t)](\omega )}\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{ℱ}_t[g(t)](\omega )}{{ℱ}_t[K(t)](\omega )}{e}^{2\pi i\omega t}d\omega$

где ${ℱ}_t$ и ${ℱ}_{\omega }^{-1}$ — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно. Необходимые и достаточные условия существования решения определяет теорема Пикара.

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

$\phi (s)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)\phi (t)dt+f(s)$.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро $K(t,s)$ и функцию $f(t)$, найти функцию $\phi (t)$. При этом существование решения и его множественность зависит от числа $\lambda$, называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным). Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля — Неймана.

Ссылки

• Интегральные уравнения: Точные решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

• Интегральные уравнения: Методы решения — из EqWorld: Мир математических уравнений.

Рекомендуемая литература

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.