Теорема Пикара (интегральные уравнения)

Теорема Пикара (интегральные уравнения) - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Шаблон:Теорема

Пояснения

В формулировке теоремы ${\lambda }_k$ - характеристические числа ядра $K(t,s)$, $f_k=(f,{\varphi }_k)$ - коэффициенты Фурье функции $f(t)$ относительно собственных функций ${\varphi }_n(t)$ этого ядра: ${\varphi }_n(t)={\lambda }_n\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s){\varphi }_n(s)ds$. Симметричное ядро $K(t,s)$ называется замкнутым в $L_2[a,b]$, если каждая функция $\sigma (t)\in L_2[a,b]$, удовлетворяющая равенству $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\sigma (s)ds=0$ равна нулю почти всюду на отрезке $[a,b]$. Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в $L_2[a,b]$ систему функций.

Доказательство

Предположим, что существует решение $\varphi (t)\in L_2[a,b]$ уравнения $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds=f(t)$.

Найдем коэффициенты Фурье функции $f(t)$ относительно собственных функций ${\varphi }_n(t)$ этого ядра: $f_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t){\varphi }_n(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds\}{\varphi }_n(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\{\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s){\varphi }_n(t)dt\}\varphi (s)ds=\frac{1}{{\lambda }_n}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\varphi }_n(s)\varphi (s)ds$.

Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы $f(t)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds$, в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s){\varphi }_n(t)dt=\frac{1}{{\lambda }_n}{\varphi }_n(s)$.

Равенство $f_n=\frac{1}{{\lambda }_n}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\varphi }_n(s)\varphi (s)ds$ может быть переписано в виде ${\lambda }_n{f}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\varphi }_n(s)\varphi (s)ds$. Отсюда следует, что числа ${\lambda }_n{f}_n$ являются коэффициентами Фурье функции $\varphi (t)\in L_2[a,b]$. В силу известной теоремы математического анализа, ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k^2{f}_k^2$ из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.

Предположим, наоборот, что ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k^2{f}_k^2$ сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция $\varphi (t)\in L_2[a,b]$, для которой числа ${\lambda }_n{f}_n$ являются коэффициентами Фурье по системе функций $𝒻{\varphi }_n(t)ℊ$, то есть выполняются равенства ${\lambda }_n{f}_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\varphi }_n(s)\varphi (s)ds$ для всех $n(n=1,2,...)$. Эта функция $\varphi (t)$ удовлетворяет интегральному уравнению $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds=f(t)$, так как в силу самого построения $\varphi (t)$ функции $f(t)$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds$ имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы $𝒻{\varphi }_n(t)ℊ$ собственных функций ядра $K(t,s)$. Таким образом, функции $f(t)$ и $\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(t,s)\varphi (s)ds$ тождественны в метрике $L_2[a,b]$.

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.