Ряд Лиувилля — Неймана

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда

Будем искать решение уравнения Фредгольма

$u(x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)u(y)dy+f(x)$

методом последовательных приближений, положив $u^{(0)}(x)=f(x)$:

$u^{(p)}(x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)u^{(p-1)}(y)dy+f(x)=\lambda (K{u}^{(p-1)})(x)+f(x),p=1,2,\dots$

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

$u^{(p)}=\sum _{k=0}^p{\lambda }^k(K^{k}f)(x),p=0,1,\dots$

Функции $(K^{p}f)(x)$ называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на $G$:

$\Vert K^{p}f{\Vert }_C=\Vert K(K^{p-1}f){\Vert }_C⩽M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G\Vert K^{p-1}f{\Vert }_C⩽\dots ⩽(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^p\Vert f{\Vert }_C,p=0,1,\dots ,$

где $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G$ — мера множества $G$, а $M=\underset{G}{\max }|K(x,y)|$.

Из этой оценки следует, что ряд

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^k(K^{k}f)(x),x\in G,$

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

$\Vert f{\Vert }_C\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\lambda {|}^k(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G{)}^k=\frac{\Vert f{\Vert }_C}{1-|\lambda |M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G},$

сходящимся в круге $|\lambda |<1/(M\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}G)$, поэтому при таких $\lambda$ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения $u^{(p)}(x)$ при $p\to \mathrm{\infty }$ равномерно стремятся к искомой функции $u(x)$.

См. также

• Резольвента интегрального уравнения
• Ряд Неймана

Литература

• Шаблон:Книга.