Полуширина

Ширина на уровне половины максимума

Ширина на уровне половины максимума

Шаблон:Не путать Полуширина (ширина на полувысоте, Шаблон:Lang-en) — разница между максимальным и минимальным значениями аргумента функции, взятыми на уровне, равном половине её максимального значения.

Полуширина применяется к таким явлениям, как длительность импульсных сигналов и спектральная ширина источников сигнала, используемых для оптических телекоммуникаций и разрешения спектрометров, а также при расчёте размера частиц на основе ширины рентгеновских линий по формуле Шеррера.

Договорённость о том, что полуширина подразумевается по уровню половинной амплитуды, широко используется в обработке сигналов для определения полосы пропускания фильтров, которая определяется как ширина частотного диапазона, в котором ослабление сигнала не превышает половины его исходной мощности (в отличие от энергии!) или мощность составляет как минимум половину исходной. На языке обработки сигналов ослабление на 3 дБ (в 2 раза в линейной шкале), или ширина сигнала по уровню половинной мощности.

В случае нормального распределения, определяемого выражением:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{(x-x_0{)}^2}{2{\sigma }^2}]$

где $\sigma$ — стандартное отклонение, $x_0$ — медиана), высота максимума равна $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }},$ а полуширина выражается через стандартное отклонение следующим образом:

$\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{H}\mathrm{M}=2\sqrt{2\ln 2}\sigma \approx 2,355\sigma$.

Пики в спектрах часто описываются не только нормальным распределением, но и распределением Лоренца (Коши, Брейта — Вигнера)

$f(x)=\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}$.

Высота его максимума равна $1/(\pi \gamma )$, а полуширина — $2\gamma$.

Гиперболический секанс — ещё одна важная функция распределения, описывающая солитоны в оптике и других приложениях (например, она является солитоноподобным решением уравнения Кортевега — де Фриза и нелинейного уравнения Шрёдингера):

$f(x)=\mathrm{sch}\frac{x}{X}$

(здесь опущены параметры, сдвигающие распределение по оси абсцисс, но не влияющие на полуширину). Для этого распределения высота максимума равна 1, а полуширина:

$\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{H}\mathrm{M}=2X\mathrm{arsch}\frac{1}{2}=2X\ln (2+\sqrt{3})\approx 2,634X$,

где $\mathrm{arsch}$ — гиперболический ареасеканс.

Шаблон:ЯкорьЧасто используют половинную ширину на уровне половинной амплитуды (Шаблон:Lang-en), в этом случае о полуширине говорят как о полной ширине на уровне полуамплитуды.

Астрономические наблюдения

В астрономии принято использовать понятие полуширины для описания качества изображения точечного источника излучения. Традиционно указывается полуширина в угловых секундах, что характеризует степень невозмущённости атмосферы. Чем меньше полуширина, тем выше разрешение снимков и больше прозрачность атмосферы. В лучших горных астрономических обсерваториях мира (Мауна-Кеа, Параналь (Чили), Майданак) атмосфера позволяет получать изображения с качеством полуширины порядка 1″ бо́льшую часть наблюдательного времени. Полуширина меньше 0,5″ на Земле практически не встречается. В средней полосе России полуширина в спокойную ночь составляет около 2″—3″.

Ссылки

• Federal Standard 1037C