Солитон

График «тёмного солитона»

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех. Кроме того, в отличие от гармонических волн, классические солитоны помимо переноса энергии осуществляют также перенос вещества (сдвиг в направлении своего движения на конечное расстояние).

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave».

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы. Свойство солитонов переносить вещество предложено использовать в качестве одного из механизмов возбуждения электрических токов в плазме и разделения вещества и антивещества в ранней Вселенной.

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости (первые солитоны, обнаруженные в природе), иногда считают таковыми волны цунами и бор
• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме
• гравитационные солитоны в слоистой жидкости
• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера
• можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы
• солитоны в нелинейно-оптических материалах
• солитоны в воздушной среде

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Распад синусоидальной волны на солитоны, наблюдавшийся Забуски и Крускалом при численном решении уравнения КдФ

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

$u_t-6u{u}_x+u_{xxx}=0$

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

$u(x,t)=-\frac{2{\varkappa }^2}{{\mathrm{c}\mathrm{h}}^2\varkappa (x-4{\varkappa }^{2}t-\phi )}$

где $2{\varkappa }^2$ — амплитуда солитона, $\phi$ — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна ${\varkappa }^{-1}$. Такой солитон движется со скоростью $v=4{\varkappa }^2$. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

$u(x,t)=-2\frac{d^2}{d{x}^2}\ln \det A(x,t)$

где матрица $A(x,t)$ даётся выражением

$A_{nm}={\delta }_{nm}+\frac{{\beta }_n}{{\varkappa }_n+{\varkappa }_m}{\mathrm{e}}^{8{\varkappa }_n^{3}t-({\varkappa }_n+{\varkappa }_m)x}$

Здесь ${\beta }_n,n=1,\dots ,N$ и ${\varkappa }_n>0,n=1,\dots ,N$ — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

$-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}\psi (x)+u(x)\psi (x)=E\psi (x)$

с потенциалом $u(x)$, убывающим на бесконечности быстрее чем $|x{|}^{-1-\epsilon }$, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени $t$.

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при $t\to -\mathrm{\infty }$ решение имеет асимптотический вид $N$ солитонов, тогда при $t\to +\mathrm{\infty }$ оно также имеет вид $N$ солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы $k$-го солитона равен

$\mathrm{\Delta }{\phi }_k=\sum _{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^N\mathrm{\Delta }{\phi }_{nk}$

Пусть $n$-й солитон движется быстрее, чем $m$-й, тогда

$\mathrm{\Delta }{\phi }_n^{+}=\mathrm{\Delta }{\phi }_{kn}=\frac{1}{{\varkappa }_n}\ln \left|\frac{{\varkappa }_n+{\varkappa }_m}{{\varkappa }_n-{\varkappa }_m}\right|$

$\mathrm{\Delta }{\phi }_k^{-}=\mathrm{\Delta }{\phi }_{nk}=-\frac{1}{{\varkappa }_m}\ln \left|\frac{{\varkappa }_n+{\varkappa }_m}{{\varkappa }_n-{\varkappa }_m}\right|$

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину $\mathrm{\Delta }{\phi }_n^{+}$, а фаза более медленного — уменьшается на $\mathrm{\Delta }{\phi }_k^{-}$, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

$i{u}_t+u_{xx}+\nu |u{|}^{2}u=0$

при значении параметра $\nu >0$ допустимы уединённые волны в виде:

$u(x,t)=\left(\sqrt{\frac{2\alpha }{\nu }}\right){\mathrm{c}\mathrm{h}}^{-1}(\sqrt{\alpha }(x-Ut))e^{i(rx-st)},$

где $r,s,\alpha ,U$ — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

$U=2r$

$s=r^2-\alpha$

Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона.

См. также

• Модель Френкеля — Конторовой
• Ионно-звуковые солитоны
• Волновой пакет
• Кинк
• Уравнение синус-Гордона
• Уравнения Дэви — Стюартсона
• Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
• Уравнение Габитова — Турицына

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Примеры типов солитонов
• А может, все мы состоим из солитонов?
• СОЛИТОН. Энциклопедия «Кругосвет»