Уравнение Кадомцева — Петвиашвили

Пересекающиеся волны, состоящие из почти кноидальных волновых шлейфов. Фотография сделана с Шаблон:Iw в западной точке острова Ре, Франция, в Атлантическом океане. Взаимодействие таких около-солитонов на мелководье может быть смоделировано с помощью уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:

${\partial }_x({\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u+{ϵ}^2{\partial }_{xxx}u)+\lambda {\partial }_{yy}u=0$

где $\lambda =\pm 1$. Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо. Оно также может быть решено с помощью Шаблон:Iw, как и нелинейное уравнение Шрёдингера.

История

Борис Борисович Кадомцев

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.

Связь с физикой

Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется $\lambda =+1$; если же поверхностное натяжение сильное, то $\lambda =-1$. Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).

Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах, а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.

Ограниченность

Для $ϵ\ll 1$, типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны $O(1/ϵ)$, что даёт сингулярный предельный режим в виде $ϵ\to 0$. Предел $ϵ\to 0$ называется Шаблон:Iw пределом.

Если мы также предположим, что решения не зависят от y при $ϵ\to 0$, то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:

${\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u=0.$

Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — $O(ϵ)$ — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Шаблон:Iw.

См. также

• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw

Литература

• Шаблон:Cite journal. Translation of Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite journal

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web