Конденсат Бозе — Эйнштейна

Конденса́т Бо́зе—Эйнште́йна (бо́зе-эйнште́йновский конденса́т, бо́зе-конденса́т) — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли кельвина). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. Шаблон:Nobr спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до Шаблон:Nobr (нК) (1,7Шаблон:E К). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института, была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года.

Теория

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

$T_c={\left(\frac{n}{\zeta (3/2)}\right)}^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m{k}_B},$

где $T_c$ — критическая температура, $n$ — концентрация частиц, $m$ — масса, $h$ — постоянная Планка, $k_B$ — постоянная Больцмана, $\zeta$ — дзета-функция Римана, $\zeta (3/2)=2,6124\dots$.

Модель Эйнштейна

Рассмотрим набор из $N$ невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях, $|0⟩$ и $|1⟩.$ Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется $2^N$ различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния $|0⟩$ или $|1⟩.$ При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии $|0⟩$ и в состоянии $|1⟩$ почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь $N+1$ различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число $K$ частиц, находящихся в состоянии $|1⟩$ (и $N-K$ частиц, находящихся в состоянии $|0⟩$); при этом $K$ может изменяться от 0 до $N$. Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии $|1⟩,$ распределена равномерно по отрезку Шаблон:Nobr. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии $|0⟩,$ реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии $|0⟩$ и половиной — в состоянии $|1⟩,$ или конфигурация со всеми частицами в состоянии $|1⟩.$

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии $|1⟩$ выше, чем в состоянии $|0⟩,$ на величину $E$), то при температуре $T$ частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии $|0⟩$. Отношение вероятностей равно $\exp (-E/k_{B}T)$.

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния $|0⟩,$ и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение $K$ задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии $K$ равна $KE$ (поскольку ровно $K$ частиц занимают уровень с энергией $E$). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

$P(K)=C{e}^{-KE/k_{B}T}=C{p}^K$.

Для достаточно больших $N$ нормировочная константа $C$ равна $(1-p)$. Ожидаемое число частиц в состоянии $|1⟩$ в пределе $N\to \mathrm{\infty }$ равно $\sum _{n>0}Cn{p}^n=p/(1-p)$. При больших $N$ эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как $|k⟩.$ Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, $p/(1-p)$:

$N=V\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{p(k)}{1-p(k)}=V\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{e^{\frac{k^2}{2m{k}_{B}T}}-1},$

$p(k)=e^{\frac{-k^2}{2m{k}_{B}T}}.$

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя Шаблон:Hbar для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, $\mu$ не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако $\mu$ меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

История

В 1924 году в журнале Zeitschrift für Physik вышла статья Шатьендраната Бозе о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел квантовый закон излучения Планка без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации. Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета.

В 1925 году, на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики. Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах. Результатом их усилий стала концепция бозе-газа, который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4, могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В 1938 году Фриц Лондон предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения сверхтекучести в ⁴He и сверхпроводимости.

В 1995 году Эрику Корнеллу и Карлу Вимену из Национального института стандартов и технологий США при помощи лазерного охлаждения удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры Шаблон:Nobr и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле, который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке, в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

В 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем Шаблон:Nobr, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия. До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше Шаблон:Nobr — сквозь пары натрия при температуре Шаблон:Nobr.

В 2010 году был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов.

К 2012 году, используя сверхнизкие температуры Шаблон:Nowrap и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов: (⁷Li, ²³Na, ³⁹K, ⁴¹K, ⁸⁵Rb, ⁸⁷Rb, ¹³³Cs, ⁵²Cr, ⁴⁰Ca, ⁸⁴Sr, ⁸⁶Sr, ⁸⁸Sr, ¹⁷⁴Yb, ¹⁶⁴Dy, и ¹⁶⁸Er).

В 2014 году сотрудникам Лаборатории холодного атома (Cold Atom Laboratory, CAL) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции. Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС.

В 2018 году российские физики под руководством Игоря Ткачёва разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи.

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в теории Бардина–Купера–Шриффера.

В 2022 году исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99 % атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК.

Ссылки

• Слежка за бозе-конденсатом // Компьютерра.
• Бозе — Эйнштейна конденсация // Физическая энциклопедия.
• Кибис О. В. Эффект Бозе-эйнштейновской конденсации // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 11. — С. 90—95.
• Видеоролик по опытам в космосе