Уравнение Бюргерса

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных. Это уравнение известно в различных областях прикладной математики. Уравнение названо в честь Иоганна Мартинуса Бюргерса (1895—1981). Является частным случаем уравнений Навье — Стокса в одномерном случае.

В гидродинамике уравнение вводится так: пусть задана скорость течения жидкости u и её кинематическая вязкость $\nu$. Тогда в общем виде уравнение Бюргерса записывается так:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$.

Если влиянием вязкости можно пренебречь, то есть $\nu =0$, уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0$.

В этом случае мы получаем уравнение Хопфа — квазилинейное уравнение переноса — простейшее уравнение, описывающее разрывные течения или течения с ударными волнами.

Если $\nu$ вещественно и не равно $0$, уравнение сводится к случаю $\nu =1$ : для $\nu <0$ нужно сначала сделать замену $u\to -u$, $x\to -x$, и для любого знака $\nu$: $u\to \sqrt{|\nu |}u$, $x\to \sqrt{|\nu |}x$ .

Уравнение Бюргерса можно линеаризовать преобразованием Хопфа-Коула. Для этого (при $\nu =1$) нужно сделать замену функции:

$u=\frac{\partial \ln w}{\partial x}=w_x/w$ .

При этом решения уравнения Бюргерса сводятся к положительным решениям линейного уравнения теплопроводности:

$u(x,t)=2\frac{\partial }{\partial x}\ln \{(4\pi t{)}^{-1/2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp [-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4t}-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x^{\prime }}{\int }}u(x^{″},0)d{x}^{″}]d{x}^{\prime }\}.$

См. также

• Уравнение Курамото-Сивашински

Литература

Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.

Ссылки

• Burgers' Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.