Кинк (математика)

Шаблон:ЗначенияКинк — это решение уравнений движения поля в некоторых теоретико-полевых моделях в $1+1$ измерениях (т.е. в двумерном пространстве-времени), интерполирующее между двумя вакуумами (значениями поля или полей, соответствующими минимумам потенциала) при изменении пространственной координаты от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Кинк является простейшим топологическим солитоном.

Кинк в модели одного действительного скалярного поля

Вид $V(\varphi )$ при $\lambda =2,\mu =\sqrt{2}$.

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля $\varphi (x,t)$ в пространстве размерности $1+1$ с действием

$S=\int d^{2}x[\frac{1}{2}{\varphi }_{,\mu }{\varphi }^{,\mu }-V(\varphi )],$

где $\mu =0,1$, а $V(\varphi )$ — потенциал вида:

$V(\varphi )=-\frac{{\mu }^2}{2}{\varphi }^2+\frac{\lambda }{4}{\varphi }^4+\frac{{\mu }^4}{4\lambda }=\frac{\lambda }{4}({\varphi }^2-v^2{)}^2,v=\frac{\mu }{\sqrt{\lambda }}.$

Это так называемая модель ${\varphi }^4$ (раньше в литературе часто встречалось также название "модель $\lambda {\varphi }^4$"). Действие инвариантно относительно дискретного преобразования $\varphi \to -\varphi$; эта симметрия спонтанно нарушается, т.к. классические вакуумы равны ${\varphi }^{(vac)}=\pm v$.

Из принципа наименьшего действия получается уравнение движения для поля $\varphi$:

$◻\varphi +\frac{dV(\varphi )}{d\varphi }=0,$

где

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$

-- оператор Даламбера.

Гиперболический тангенс — статическое решение уравнений поля при $x_0=0,\lambda =2,\mu =\sqrt{2}$.

Будем искать статическое, т.e. не зависящее от времени решение уравнения движения. В этом случае $\varphi =\varphi (x)$ и уравнение движения принимает вид

${\varphi }^{″}-\frac{dV(\varphi )}{d\varphi }=0,$

где штрих обозначает производную по пространственной координате. Полученное уравнение имеет следующее решение:

$\varphi =\pm v\tanh (\sqrt{\frac{\lambda }{2}}v(x-x_0))=\pm \frac{\mu }{\sqrt{\lambda }}\tanh (\frac{\mu }{\sqrt{2}}(x-x_0)),$

где $x_0$ — постоянная интегрирования, отвечающая за расположение кинка на координатной оси. Данное решение (со знаком "$+$") является статическим кинком модели $\lambda {\varphi }^4$ соединяющим вакуумы $-v$ и $+v$ при изменении пространственной координаты от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Заметим, что решение со знаком "$-$" называется антикинком.

Свойства решения

Размер кинка имеет порядок величины $r_k={\mu }^{-1}$, то есть порядок комптоновской длины волны элементарного возбуждения. Действительно, плотность энергии кинка

$ϵ(x)=\frac{1}{2}\varphi {\text{'}}^2+V(\varphi )=\frac{\lambda }{2}{v}^4\frac{1}{{\cosh }^4(\frac{\mu }{\sqrt{2}}(x-x_0))}$

существенно отличается от нуля только в области $|x-x_0|\lesssim r_k$.

Статическая энергия кинка равна

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}ϵ(x)dx=\frac{2}{3}m{v}^2,$

где $m=\sqrt{2}\mu$ — масса элементарного возбуждения.

Полученное решение не инвариантно относительно пространственных трансляций и преобразований Лоренца. Однако эти преобразования переводят решения уравнений поля в другие решения. Применяя трансляции и преобразование Лоренца, получим следующее семейство нестатических решений:

$\varphi =\frac{\mu }{\sqrt{\lambda }}\tanh (\pm \frac{\mu }{\sqrt{2}}\frac{(x-x_0)-ut}{\sqrt{1-u^2}}),$

где $u$ — скорость движущегося кинка.

Кинк в модели одного комплексного скалярного поля

Рассмотрим теорию одного комплексного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$ с лагранжианом

$ℒ\mathcal{=}{\mathcal{\varphi }}_{,\mathcal{\mu }}{\overline{\mathcal{\varphi }}}^{,\mathcal{\mu }}\mathcal{+}{\mathcal{\mu }}^2\mathcal{\varphi }\overline{\mathcal{\varphi }}\mathcal{-}\frac{\lambda }{2}\mathcal{(}\mathcal{\varphi }\overline{\mathcal{\varphi }}{\mathcal{)}}^2\mathcal{.}$

Принцип наименьшего действия приводит к следующим уравнениям поля:

${\varphi }_{,\mu }^{\mu }={\mu }^2\varphi -\lambda {\varphi }^2\overline{\varphi },$

${\overline{\varphi }}_{,\mu }^{,\mu }={\mu }^2\overline{\varphi }-\lambda {\overline{\varphi }}^2\varphi .$

Полученные уравнения имеют решением кинк из теории действительного скалярного поля

$\varphi =\overline{\varphi }=\frac{\mu }{\sqrt{\lambda }}\tanh (\pm \frac{\mu }{\sqrt{2}}x).$

Кинк в уравнении синус-Гордона

Кинк в уравнении синус-Гордона

Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в пространстве размерности $1+1$ с лагранжианом

$ℒ\mathcal{=}{\mathcal{\varphi }}_{,\mathcal{\mu }}{\mathcal{\varphi }}^{,\mathcal{\mu }}\mathcal{+}{𝓂}^2{𝓋}^2\mathcal{[}\cos \frac{\varphi }{v}\mathcal{-}1\mathcal{]}\mathcal{.}$

Принцип наименьшего действия приводит к уравнению

${\varphi }_{,\mu }^{\mu }+m^{2}v\sin \frac{\varphi }{v}=0,$

Антикинк в уравнении синус-Гордона

которое заменой $x\to mx,t\to mt,\varphi \to \frac{\varphi }{v}$ приводится к уравнению синус-Гордона

${\varphi }_{tt}-{\varphi }_{xx}+\sin \varphi =0,$

имеющему следующие частные решения, представляющие движущиеся со скоростью $v$ кинки, интерполирующие между вакуумами ${\varphi }_0=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ и ${\varphi }_0+2\pi$ при изменении $x$ от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$:

$\varphi (x,t)={\varphi }_0+4\arctan \{\exp [\pm \frac{x+vt}{\sqrt{v^2-1}}+\delta ]\},$

где $\delta$ — произвольная постоянная. Знак $+$ соответствует кинку, знак $-$ — антикинку.

Литература

• Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев, Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля, УФН 167, 377—406 (1997) Шаблон:Wayback.
• V.A. Gani, A.E. Kudryavtsev, M.A. Lizunova, Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ⁶ model, Phys. Rev. D 89, 125009 (2014); [1].
• V.A. Gani, V. Lensky, M.A. Lizunova, Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ⁸ model, JHEP 08 (2015) 147; [2].