Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой $m$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Одномерный гармонический осциллятор

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, $n=0,\dots ,7$. По горизонтали отложена координата $q$, по вертикали — значение волновой функции ${\psi }_n(q)$. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массой $m$, собственная частота которого $\omega$, выглядит так:

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{\hat{q}}^2}{2}$

В координатном представлении оператор импульса имеет вид $\hat{p}=-i\hslash \partial /\partial x$ , а оператор координаты $\hat{q}=x$. Через $\hslash$ обозначена редуцированная постоянная Планка, через $i$ — мнимая единица.

Задача отыскания уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению чисел $E$, при которых дифференциальное уравнение в частных производных

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi (x)+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}\psi (x)=E\psi (x)$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций. Здесь $\psi (x)$ — волновая функция. Для

$E=E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,\dots$

решение имеет вид:

$\psi ={\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}\cdot {\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }\right)}^{1/4}\cdot \exp (-\frac{m\omega x^2}{2\hslash })\cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x\right),$

функции $H_n$ — полиномы Эрмита:

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$.

Данный спектр значений $E$ заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\hslash \omega$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно $\hslash \omega /2$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гамильтониан гармонического осциллятора можно также записать вводя операторы рождения и уничтожения (${\hat{a}}^{+}$ и $\hat{a}$, соответственно)

${\hat{a}}^{+}=\frac{1}{\sqrt{2m\hslash \omega }}(m\omega x-i\hat{p}),\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2m\hslash \omega }}(m\omega x+i\hat{p})$,

сопряжённые друг другу. Их коммутатор равен

$[\hat{a},{\hat{a}}^{+}]=\hat{a}{\hat{a}}^{+}-{\hat{a}}^{+}\hat{a}=\frac{i}{\hslash }(\hat{p}\hat{q}-\hat{q}\hat{p})=1$.

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан обретает компактный вид

$\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{+}\hat{a}+\frac{1}{2})=\hslash \omega (\hat{n}+\frac{1}{2})$,

где $\hat{n}={\hat{a}}^{+}\hat{a}$ — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные векторы записанного гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Неодномерный гармонический осциллятор

Если колебания независимо происходят вдоль всех трёх декартовых координат ($x$, $y$, $z$), уравнение Шрёдингера становится трехмерным, но возможно разделение переменных — и для каждой из координатных осей получается одномерное уравнение. В результате волновые функции будут записываться в форме

${\psi }_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)={\psi }_{n_x}(x){\psi }_{n_y}(y){\psi }_{n_z}(z)$,

где функции-сомножители справа имеют вид, обсуждавшийся выше. При этом энергии уровней составят

$E_{n_x,n_y,n_z}=\hslash \omega (n_x+n_y+n_z+\frac{3}{2})$,

где $n_x$, $n_y$, $n_z$ — неотрицательные целые числа. Уровни, кроме нулевого, оказываются вырожденными, так как одна и та же величина энергии может достигаться несколькими комбинациями чисел.

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{q}}^2+\lambda {\hat{q}}^3$,

где $\lambda =$сonst. Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

$\lambda {\left(\frac{\hslash }{2m\omega }\right)}^{\frac{3}{2}}(\hat{a}+{\hat{a}}^{+}{)}^3.$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $|{\psi }_E⟩$ равна

$\mathrm{\Delta }{E}^{(2)}={\lambda }^2⟨{\psi }_E|q^3\frac{1}{E-\hslash \omega /2}{q}^3|{\psi }_E⟩.$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$\hat{H}=\sum _{i=1}^N\frac{{\hat{p}}_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\sum _{i<j}^N({\hat{q}}_i-{\hat{q}}_j{)}^2$

Здесь под ${\hat{q}}_i$ и ${\hat{p}}_i$ подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс $i$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы $f(t)$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ($n$) на другой ($m$). Вероятность этого перехода $W_{n,m}(t)$ для осциллятора без затухания даётся формулой

$W_{n,m}(t)=\frac{n!}{m!}|\delta {|}^{2(n-m)}\exp (-|{\delta }^2|{(L_n^{m-n}(|\delta {|}^2))}^2)$,

где функция $\delta (t)$ определяется как

$\delta (t)=-il\hslash \underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )\exp (i\omega \tau )d\tau$,

а $L_m^{m-n}$ — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор